# Ejercicios resueltos de series de potencias con soluciones > 12 ejercicios de series de potencias con respuestas: radio e intervalo de convergencia, estudio de los extremos y series construidas a partir de 1/(1 − x). Fuente: https://practicecalculus.com/es/ejercicios-resueltos/ejercicios-series-de-potencias Actualizado: 2026-11-06 $$ \frac{1}{1 - x} = \sum_{n=0}^{\infty}x^n, \quad |x| < 1 $$ ## De un vistazo - **Ejercicios:** 12, con respuestas y soluciones completas - **Nivel:** Cálculo 2 y AP Calculus BC, unidad 10 - **Necesitas:** El [criterio del cociente](/rules/ratio-test) y los demás [criterios de convergencia](/practice-problems/convergence-tests) - **Idea principal:** Usa el criterio del cociente para el radio y luego estudia cada extremo por separado - **Practica con números nuevos:** [Lección de series de potencias y radio](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/power-series-and-radius) ## Ideas clave - Aplica el criterio del cociente a $|a_n(x - c)^n|$ y resuelve "límite $< 1$" para $x$ para obtener el radio. - El criterio del cociente no dice nada en los extremos. Sustituye cada uno y usa otro criterio. - Construye series nuevas a partir de $\frac{1}{1 - x}$ sustituyendo, multiplicando por potencias de $x$, derivando o integrando. El radio no cambia. Estos **ejercicios de series de potencias** cubren el radio y el intervalo de convergencia, el estudio de los extremos y la construcción de series nuevas a partir de la serie geométrica. Intenta cada uno primero. Primero van las respuestas y después las soluciones completas. Las dos herramientas: $$\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| < 1 \quad\text{para el radio}, \qquad \frac{1}{1 - x} = \sum_{n=0}^{\infty}x^n \quad\text{para construir series}$$ Para ver más ejemplos, lee la [guía de series de potencias](/blog/power-series). ## Ejercicios **Radio e intervalo de convergencia** 1. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}$ 2. $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$ 3. $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}n!\,x^n$ 4. $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x - 2)^n}{3^n}$ 5. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n^2}$ 6. $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n}}{4^n}$ 7. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}n(x + 1)^n$ 8. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2x - 1)^n}{n}$ **Construir series** 9. Halla una serie de potencias para $\dfrac{1}{1 - 3x}$ y su radio. 10. Halla una serie de potencias para $\dfrac{x}{1 + x^2}$ y su radio. 11. Deriva $\frac{1}{1 - x}$ para obtener una serie de $\frac{1}{(1 - x)^2}$. Úsala para calcular $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n}$. 12. Integra una serie de $\frac{1}{1 + x}$ para obtener una serie de $\ln(1 + x)$. ## Respuestas | Ejercicio | Radio | Intervalo o respuesta | | --- | --- | --- | | 1 | $1$ | $[-1, 1)$ | | 2 | $\infty$ | $(-\infty, \infty)$ | | 3 | $0$ | Solo $x = 0$ | | 4 | $3$ | $(-1, 5)$ | | 5 | $1$ | $[-1, 1]$ | | 6 | $2$ | $(-2, 2)$ | | 7 | $1$ | $(-2, 0)$ | | 8 | $\frac{1}{2}$ | $[0, 1)$ | | 9 | $\frac{1}{3}$ | $\sum 3^n x^n$ | | 10 | $1$ | $\sum(-1)^n x^{2n+1}$ | | 11 | $1$ | $\sum n x^{n-1}$; la suma es $2$ | | 12 | $1$ | $\sum\frac{(-1)^{n+1}x^n}{n}$ | ## Soluciones paso a paso **1.** Cociente: $\left|\frac{x^{n+1}}{n + 1}\cdot\frac{n}{x^n}\right| = \frac{n}{n + 1}|x| \to |x|$. Así que $|x| < 1$ y $R = 1$. En $x = 1$: $\sum\frac{1}{n}$ diverge. En $x = -1$: $\sum\frac{(-1)^n}{n}$ converge por el criterio de series alternadas. Intervalo $[-1, 1)$. **2.** Cociente: $\frac{|x|}{n + 1} \to 0 < 1$ para todo $x$. Así que $R = \infty$. Es la serie de $e^x$. **3.** Cociente: $(n + 1)|x| \to \infty$ para todo $x \neq 0$. La serie solo converge en su centro. **4.** Es geométrica de razón $\frac{x - 2}{3}$. Converge cuando $|x - 2| < 3$, es decir, $-1 < x < 5$. En los dos extremos los términos son $(\pm 1)^n$, que no tienden a $0$, así que ambos divergen. **5.** Cociente: $\frac{n^2}{(n + 1)^2}|x| \to |x|$, así que $R = 1$. En $x = \pm 1$, $\sum\frac{(\pm 1)^n}{n^2}$ converge absolutamente, ya que $\sum\frac{1}{n^2}$ converge. Los dos extremos están incluidos. **6.** Es geométrica de razón $-\frac{x^2}{4}$. Converge cuando $\frac{x^2}{4} < 1$, es decir, $|x| < 2$. En $x = \pm 2$ los términos son $(-1)^n$, que divergen. **7.** Cociente: $\frac{n + 1}{n}|x + 1| \to |x + 1|$, así que la serie converge para $|x + 1| < 1$, es decir, $-2 < x < 0$. En los dos extremos los términos $n(\pm 1)^n$ crecen, así que ambos divergen. **8.** Cociente: $\frac{n}{n + 1}|2x - 1| \to |2x - 1|$. Resuelve $|2x - 1| < 1$: $0 < x < 1$, con centro $\frac{1}{2}$ y $R = \frac{1}{2}$. En $x = 1$: $\sum\frac{1}{n}$ diverge. En $x = 0$: $\sum\frac{(-1)^n}{n}$ converge. Intervalo $[0, 1)$. **9.** Cambia $x$ por $3x$ en la serie geométrica: $$\frac{1}{1 - 3x} = \sum_{n=0}^{\infty}(3x)^n = \sum_{n=0}^{\infty}3^n x^n, \quad |3x| < 1 \Rightarrow R = \frac{1}{3}$$ **10.** Cambia $x$ por $-x^2$ y luego multiplica por $x$: $$\frac{x}{1 + x^2} = x\sum_{n=0}^{\infty}(-x^2)^n = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^{2n+1}, \quad |x| < 1$$ **11.** Deriva los dos lados de $\frac{1}{1 - x} = \sum x^n$: $$\frac{1}{(1 - x)^2} = \sum_{n=1}^{\infty}n x^{n-1}$$ Multiplica por $x$: $\sum n x^n = \frac{x}{(1 - x)^2}$. En $x = \frac{1}{2}$, esto vale $\frac{1/2}{1/4} = 2$. **12.** $\frac{1}{1 + x} = \sum(-1)^n x^n$. Integra de $0$ a $x$: $$\ln(1 + x) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{n+1}}{n + 1} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots$$ Al desplazar el índice se obtiene la forma de la tabla. El radio sigue siendo $1$. ## Errores comunes en estos ejercicios - **Saltarse los extremos.** Los ejercicios 1, 5 y 8 tienen todos $R = 1$ o $R = \frac{1}{2}$, pero un comportamiento distinto en los extremos. - **Olvidar el centro.** En el ejercicio 4 el centro es $2$, así que el intervalo es $2 \pm 3$, no $\pm 3$. - **Radio equivocado por el $2x$.** En el ejercicio 8, $|2x - 1| < 1$ significa $|x - \frac{1}{2}| < \frac{1}{2}$, así que $R = \frac{1}{2}$, no $1$. - **Dejar $x$ dentro del límite.** En el criterio del cociente, $|x|$ es una constante. Calcula el límite en $n$ y luego despeja $x$. ## Sigue practicando Para practicar sin límite con series nuevas y corrección al instante, prueba la [lección de series de potencias y radio](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/power-series-and-radius). Después, aprende a construir la serie de cualquier función con los [ejercicios de series de Taylor](/practice-problems/taylor-series). ## Preguntas frecuentes ### ¿Qué diferencia hay entre el radio y el intervalo de convergencia? El radio $R$ indica hasta qué distancia del centro converge la serie. El intervalo es el conjunto real de valores de $x$, incluyendo qué extremos pertenecen. Dos series con el mismo radio pueden tener intervalos distintos, como muestran los ejercicios 1 y 5. ### ¿Por qué hay que estudiar los extremos por separado? En un extremo el límite del criterio del cociente vale exactamente $1$, lo que no da información. La serie se convierte en una serie numérica normal, que puede converger o diverger. ### ¿Derivar una serie de potencias cambia el radio? No. Derivar o integrar término a término mantiene el mismo radio. Sí puede cambiar lo que pasa en los extremos, así que vuelve a estudiarlos.