# Ejercicios resueltos de series de Taylor y Maclaurin

> 12 ejercicios de series de Taylor y Maclaurin con respuestas: construir series, polinomios de Taylor, estimaciones con cota de error, límites y sumas.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/ejercicios-resueltos/ejercicios-series-de-taylor
Actualizado: 2026-11-06

$$ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n $$

## De un vistazo

- **Ejercicios:** 12, con respuestas y soluciones completas
- **Nivel:** Cálculo 2 y AP Calculus BC, unidad 10
- **Necesitas:** Derivadas, factoriales y [series de potencias](/practice-problems/power-series)
- **Idea principal:** Iguala las derivadas de $f$ en un punto y luego usa la serie para aproximar, calcular límites o sumar
- **Practica con números nuevos:** [Lección de series de Maclaurin](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/maclaurin-series)

## Ideas clave

- El coeficiente de $(x - a)^n$ es $\frac{f^{(n)}(a)}{n!}$. Divide siempre entre el factorial.
- Construye series nuevas a partir de las conocidas ($e^x$, $\sin x$, $\cos x$, $\frac{1}{1 - x}$) sustituyendo, multiplicando o integrando, en lugar de calcular muchas derivadas.
- Lee derivadas en una serie: $f^{(n)}(0) = n!\times$ (coeficiente de $x^n$).

Estos **ejercicios de series de Taylor** cubren cómo construir series de Maclaurin y de Taylor, polinomios de Taylor, estimaciones con cota de error y el uso de series para calcular límites, derivadas y sumas. Intenta cada uno primero. Primero van las respuestas y después las soluciones completas.

La fórmula:

$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \cdots$$

Para ver el razonamiento y más ejemplos, lee la [guía de series de Taylor](/blog/taylor-series).

## Ejercicios

**Construir series**

1. Halla los cuatro primeros términos no nulos de la serie de Maclaurin de $e^{2x}$.
2. Halla los tres primeros términos no nulos de la serie de Maclaurin de $\cos(x^2)$.
3. Halla los cuatro primeros términos no nulos de la serie de Maclaurin de $x\,e^{-x}$.
4. Halla la serie de Taylor de $\ln x$ centrada en $a = 1$.
5. Halla el polinomio de Taylor de grado 3 de $\sqrt{x}$ centrado en $a = 4$.
6. Usa la serie de $\frac{1}{1 + x^2}$ para hallar la serie de Maclaurin de $\arctan x$.

**Estimaciones**

7. Usa el polinomio de Taylor de grado 2 del ejercicio 5 para estimar $\sqrt{4.1}$.
8. Estima $\sin(0.5)$ con $x - \frac{x^3}{6}$ y acota el error.

**Usar series**

9. Halla $f^{(10)}(0)$ para $f(x) = x^2\cos x$.
10. Calcula $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x - x}{x^3}$.
11. Calcula $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{e^x - 1 - x}{x^2}$.
12. Calcula la suma $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\pi^{2n}}{(2n)!}$.

## Respuestas

| Ejercicio | Respuesta |
| --- | --- |
| 1 | $1 + 2x + 2x^2 + \frac{4}{3}x^3$ |
| 2 | $1 - \frac{x^4}{2} + \frac{x^8}{24}$ |
| 3 | $x - x^2 + \frac{x^3}{2} - \frac{x^4}{6}$ |
| 4 | $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}(x - 1)^n}{n}$ |
| 5 | $2 + \frac{x - 4}{4} - \frac{(x - 4)^2}{64} + \frac{(x - 4)^3}{512}$ |
| 6 | $x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots$ |
| 7 | $\approx 2.0248438$ |
| 8 | $\approx 0.479167$, error menor que $0.00027$ |
| 9 | $90$ |
| 10 | $-\frac{1}{6}$ |
| 11 | $\frac{1}{2}$ |
| 12 | $-1$ |

## Soluciones paso a paso

**1.** Cambia $x$ por $2x$ en $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \cdots$:

$$1 + 2x + \frac{4x^2}{2} + \frac{8x^3}{6} = 1 + 2x + 2x^2 + \frac{4}{3}x^3$$

**2.** Cambia $x$ por $x^2$ en $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \cdots$:

$$1 - \frac{x^4}{2} + \frac{x^8}{24} - \cdots$$

**3.** $e^{-x} = 1 - x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} + \cdots$. Multiplica cada término por $x$.

**4.** Para $f(x) = \ln x$: $f(1) = 0$, $f'(1) = 1$, $f''(1) = -1$, $f'''(1) = 2$, y en general $f^{(n)}(1) = (-1)^{n+1}(n - 1)!$. Divide entre $n!$ para obtener $\frac{(-1)^{n+1}}{n}$:

$$\ln x = (x - 1) - \frac{(x - 1)^2}{2} + \frac{(x - 1)^3}{3} - \cdots$$

**5.** Calcula las derivadas en $x = 4$:

| | Valor en 4 | Dividido entre $n!$ |
| --- | --- | --- |
| $f = x^{1/2}$ | $2$ | $2$ |
| $f' = \frac{1}{2}x^{-1/2}$ | $\frac{1}{4}$ | $\frac{1}{4}$ |
| $f'' = -\frac{1}{4}x^{-3/2}$ | $-\frac{1}{32}$ | $-\frac{1}{64}$ |
| $f''' = \frac{3}{8}x^{-5/2}$ | $\frac{3}{256}$ | $\frac{1}{512}$ |

**6.** $\frac{1}{1 + x^2} = 1 - x^2 + x^4 - \cdots$ para $|x| < 1$. Integra término a término de $0$ a $x$:

$$\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots$$

**7.** Con $x - 4 = 0.1$:

$$2 + \frac{0.1}{4} - \frac{0.01}{64} = 2 + 0.025 - 0.00015625 = 2.02484375$$

El valor real es $2.0248457\ldots$, así que la estimación difiere en unos $0.000002$.

**8.** $0.5 - \frac{0.125}{6} \approx 0.479167$. La serie es alternada con términos decrecientes, así que el error es menor que el término siguiente, $\frac{0.5^5}{120} \approx 0.00026$. El valor real es $0.479426$, con una diferencia de $0.000259$.

**9.** $x^2\cos x = x^2 - \frac{x^4}{2!} + \frac{x^6}{4!} - \frac{x^8}{6!} + \frac{x^{10}}{8!} - \cdots$. El coeficiente de $x^{10}$ es $\frac{1}{8!}$, y también es igual a $\frac{f^{(10)}(0)}{10!}$:

$$f^{(10)}(0) = \frac{10!}{8!} = 10\cdot 9 = 90$$

**10.** $\sin x - x = -\frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \cdots$. Divide entre $x^3$: $-\frac{1}{6} + \frac{x^2}{120} - \cdots \to -\frac{1}{6}$.

**11.** $e^x - 1 - x = \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \cdots$. Divide entre $x^2$: $\frac{1}{2} + \frac{x}{6} + \cdots \to \frac{1}{2}$.

**12.** Es la serie del coseno $\sum\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$ con $x = \pi$, así que la suma es $\cos\pi = -1$.

## Errores comunes en estos ejercicios

- **Olvidar el factorial.** El coeficiente es $\frac{f^{(n)}(a)}{n!}$, no $f^{(n)}(a)$. En el ejercicio 5, $f''(4) = -\frac{1}{32}$ pero el coeficiente es $-\frac{1}{64}$.
- **Derivar cuando basta con sustituir.** Derivar $\cos(x^2)$ ocho veces es lento. Sustituye en la serie conocida.
- **Usar $x$ en lugar de $x - a$.** Una serie de Taylor en $a = 4$ usa potencias de $(x - 4)$.
- **Confundir qué coeficiente da qué derivada.** En el ejercicio 9, el coeficiente de $x^{10}$ viene del término $n = 4$ del coseno, y se multiplica por $10!$.

## Sigue practicando

Para practicar sin límite con corrección al instante, prueba la [lección de polinomios de Taylor](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/taylor-polynomials), la [lección de series de Maclaurin](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/maclaurin-series) y la [lección de estimaciones con Taylor](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/estimating-with-taylor). Después, prueba los [ejercicios de paramétricas y polares](/practice-problems/parametric-and-polar), que completan la misma unidad de Cálculo 2.

## Preguntas frecuentes

### ¿Qué diferencia hay entre una serie de Taylor y una serie de Maclaurin?

Una serie de Maclaurin es una serie de Taylor centrada en $a = 0$. Las series de Taylor pueden centrarse en cualquier punto, como en los ejercicios 4 y 5.

### ¿Qué series de Maclaurin debo memorizar?

$e^x = \sum\frac{x^n}{n!}$, $\sin x = \sum\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$, $\cos x = \sum\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$ y $\frac{1}{1 - x} = \sum x^n$. La mayoría de las demás series de los exámenes salen de estas por sustitución, multiplicación o integración.

### ¿Qué precisión tiene un polinomio de Taylor?

En una serie alternada, el error es como mucho el primer término que omites. En general, la cota de error de Lagrange dice que el error es como mucho $\frac{M}{(n+1)!}|x - a|^{n+1}$, donde $M$ acota $|f^{(n+1)}|$ entre $a$ y $x$. Consulta el [teorema de Taylor](/theorems/taylors-theorem).