# Ejercicios resueltos de sumas de Riemann con soluciones

> 10 ejercicios de sumas de Riemann con respuestas: sumas por la izquierda, por la derecha, del punto medio y de trapecios, tablas, cotas y límites de sumas.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/ejercicios-resueltos/ejercicios-sumas-de-riemann
Actualizado: 2026-11-06

$$ \int_a^b f(x)\,dx \approx \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\,\Delta x, \quad \Delta x = \frac{b-a}{n} $$

## De un vistazo

- **Ejercicios:** 10, con respuestas y soluciones completas
- **Nivel:** Cálculo 1 y AP Calculus AB, unidad 6
- **Necesitas:** Evaluar funciones y la notación sigma (sumatorio)
- **Idea principal:** Suma las áreas de rectángulos estrechos: altura por anchura
- **Practica con números nuevos:** [Lección de sumas de Riemann](/learn/calculus-1/integrals/riemann-sums)

## Ideas clave

- Calcula primero $\Delta x = \frac{b-a}{n}$ y luego anota los puntos de muestra antes de evaluar nada.
- En una función creciente, la suma por la izquierda se queda corta y la suma por la derecha se pasa. En una función decreciente ocurre al revés.
- Un límite de sumas de Riemann es una integral definida. Identifica $\Delta x$ y la función para hallar la integral.

Estos **ejercicios de sumas de Riemann** cubren las sumas por la izquierda, por la derecha, del punto medio y de trapecios, tablas con anchuras desiguales, estimaciones por exceso y por defecto, y cómo convertir un límite de sumas en una integral. Intenta cada uno primero. Primero van las respuestas y después las soluciones completas.

El planteamiento básico:

$$\Delta x = \frac{b-a}{n}, \qquad \text{suma} = \Delta x\,\big(f(x_1^*) + f(x_2^*) + \cdots + f(x_n^*)\big)$$

Las sumas por la izquierda usan el extremo izquierdo de cada subintervalo, las sumas por la derecha el extremo derecho y las sumas del punto medio el centro. Para entender las ideas, lee la [guía de sumas de Riemann](/blog/riemann-sums).

## Ejercicios

**Una función, cuatro métodos.** Usa $f(x) = x^2$ en $[0, 2]$ con $n = 4$.

1. Halla la suma de Riemann por la izquierda $L_4$.
2. Halla la suma de Riemann por la derecha $R_4$.
3. Halla la suma del punto medio $M_4$.
4. Halla la suma de trapecios $T_4$ y compara las cuatro con el valor exacto $\int_0^2 x^2\,dx = \frac{8}{3}$.

**Por exceso o por defecto**

5. Halla la suma por la izquierda $L_4$ de $f(x) = \frac{1}{x}$ en $[1, 3]$. ¿Es una estimación de $\ln 3$ por exceso o por defecto?
6. Se mide la velocidad de un coche en algunos instantes:

| $t$ (s) | 0 | 2 | 5 | 6 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $v(t)$ (m/s) | 10 | 14 | 20 | 18 |

Estima la distancia recorrida de $t = 0$ a $t = 6$ con una suma por la izquierda, una por la derecha y una de trapecios.

7. Para $f(x) = x^2$ en $[0, 2]$, explica por qué $M_4 < \frac{8}{3} < T_4$.

**Límites de sumas**

8. Escribe $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\frac{3}{n}\left(1 + \frac{3i}{n}\right)^2$ como una integral definida y calcúlala.
9. Halla la suma por la derecha $R_n$ de $f(x) = x$ en $[0, 2]$ en forma cerrada y luego calcula el límite cuando $n \to \infty$.
10. Estima $\int_0^{\pi}\sin x\,dx$ con una suma del punto medio, $n = 4$.

## Respuestas

| Ejercicio | Respuesta |
| --- | --- |
| 1 | $L_4 = 1.75$ |
| 2 | $R_4 = 3.75$ |
| 3 | $M_4 = 2.625$ |
| 4 | $T_4 = 2.75$; valor exacto $\approx 2.667$ |
| 5 | $L_4 = \frac{77}{60} \approx 1.283$, por exceso |
| 6 | Izquierda $82$ m, derecha $106$ m, trapecios $94$ m |
| 7 | $x^2$ es cóncava hacia arriba |
| 8 | $\int_1^4 x^2\,dx = 21$ |
| 9 | $R_n = \frac{2(n+1)}{n} \to 2$ |
| 10 | $\approx 2.052$ (el valor exacto es $2$) |

## Soluciones paso a paso

**1.** $\Delta x = \frac{2 - 0}{4} = 0.5$, así que los puntos son $0, 0.5, 1, 1.5, 2$. La suma por la izquierda usa los cuatro primeros:

$$L_4 = 0.5\,(0 + 0.25 + 1 + 2.25) = 0.5(3.5) = 1.75$$

**2.** La suma por la derecha usa los cuatro últimos:

$$R_4 = 0.5\,(0.25 + 1 + 2.25 + 4) = 0.5(7.5) = 3.75$$

**3.** Los puntos medios son $0.25, 0.75, 1.25, 1.75$. Sus cuadrados son $0.0625, 0.5625, 1.5625, 3.0625$, que suman $5.25$:

$$M_4 = 0.5(5.25) = 2.625$$

**4.** Con anchuras iguales, la suma de trapecios es la media de las sumas por la izquierda y por la derecha:

$$T_4 = \frac{1.75 + 3.75}{2} = 2.75$$

El valor exacto $\frac{8}{3} \approx 2.667$ queda entre $M_4$ y $T_4$. La suma del punto medio es la más cercana.

**5.** $\Delta x = 0.5$ y los puntos de la izquierda son $1, 1.5, 2, 2.5$:

$$L_4 = 0.5\left(1 + \tfrac{2}{3} + \tfrac{1}{2} + \tfrac{2}{5}\right) = 0.5\cdot\frac{77}{30} = \frac{77}{60} \approx 1.283$$

Como $\frac{1}{x}$ es decreciente, el extremo izquierdo de cada subintervalo es el punto más alto, así que cada rectángulo sobresale por encima de la curva. Es una estimación por exceso de $\ln 3 \approx 1.099$.

**6.** Las anchuras son $2$, $3$ y $1$. Multiplica cada anchura por la altura que corresponda:

- Izquierda: $2(10) + 3(14) + 1(20) = 82$ m
- Derecha: $2(14) + 3(20) + 1(18) = 106$ m
- Trapecios: $2\cdot\frac{10+14}{2} + 3\cdot\frac{14+20}{2} + 1\cdot\frac{20+18}{2} = 24 + 51 + 19 = 94$ m

**7.** Una curva cóncava hacia arriba se curva hacia arriba, así que el lado superior de cada trapecio queda por encima de la curva y $T_4$ se pasa. Cada rectángulo del punto medio tiene la misma área que el trapecio bajo la recta tangente en ese punto medio, y una curva cóncava hacia arriba queda por encima de sus rectas tangentes, así que $M_4$ se queda corta.

**8.** Identifica el patrón $\Delta x = \frac{3}{n}$ y $x_i = 1 + \frac{3i}{n}$. El intervalo empieza en $1$ y tiene longitud $3$, así que es $[1, 4]$, y la función es $x^2$:

$$\int_1^4 x^2\,dx = \frac{4^3 - 1^3}{3} = \frac{63}{3} = 21$$

**9.** $\Delta x = \frac{2}{n}$ y $x_i = \frac{2i}{n}$. Usa $\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$:

$$R_n = \sum_{i=1}^{n}\frac{2}{n}\cdot\frac{2i}{n} = \frac{4}{n^2}\cdot\frac{n(n+1)}{2} = \frac{2(n+1)}{n} \to 2$$

Coincide con el área del triángulo, $\frac{1}{2}(2)(2) = 2$.

**10.** $\Delta x = \frac{\pi}{4}$, y los puntos medios son $\frac{\pi}{8}, \frac{3\pi}{8}, \frac{5\pi}{8}, \frac{7\pi}{8}$. Sus senos valen aproximadamente $0.3827, 0.9239, 0.9239, 0.3827$, que suman unos $2.6131$:

$$M_4 \approx \frac{\pi}{4}(2.6131) \approx 2.052$$

Como $\sin x$ es cóncava hacia abajo en $[0, \pi]$, la suma del punto medio se pasa del valor exacto $2$.

## Errores comunes en estos ejercicios

- **Usar $n + 1$ alturas.** Una suma por la izquierda o por la derecha con $n = 4$ tiene exactamente cuatro rectángulos. Anota los puntos y tacha el que no usas.
- **Suponer anchuras iguales en una tabla.** En el ejercicio 6 los saltos son $2$, $3$ y $1$. Usar un único $\Delta x$ da una respuesta incorrecta.
- **Confundir las reglas de exceso y defecto.** Izquierda y derecha dependen de si la función crece o decrece. Punto medio y trapecios dependen de la concavidad.
- **Leer mal el intervalo en un límite.** En el ejercicio 8, $x_i = 1 + \frac{3i}{n}$ significa que el intervalo empieza en $1$, no en $0$.

## Sigue practicando

Para practicar sin límite con funciones nuevas y corrección al instante, trabaja la [lección de sumas de Riemann](/learn/calculus-1/integrals/riemann-sums) y la [lección de sumas de trapecios](/learn/calculus-1/integrals/trapezoid-sums). Después, mira cómo el límite de estas sumas se convierte en una respuesta exacta en los [ejercicios de integrales definidas](/practice-problems/definite-integrals) y los [ejercicios del Teorema Fundamental](/practice-problems/fundamental-theorem-of-calculus).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cómo saber si una suma de Riemann es una estimación por exceso o por defecto?

En las sumas por la izquierda y por la derecha, mira si la función es creciente o decreciente. En las sumas del punto medio y de trapecios, mira la concavidad: si la gráfica es cóncava hacia arriba, la suma de trapecios se pasa y la del punto medio se queda corta.

### ¿Qué diferencia hay entre la regla del trapecio y una suma de Riemann?

Una suma de Riemann usa rectángulos. La regla del trapecio usa trapecios, que siguen la pendiente de la curva. Con anchuras iguales, la suma de trapecios es la media de las sumas por la izquierda y por la derecha.

### ¿Las sumas de Riemann necesitan anchuras iguales?

No. Con datos en una tabla, las anchuras son los saltos que da la tabla. Multiplica cada altura por su propia anchura, como en el ejercicio 6.