# Ejercicios resueltos de sustitución trigonométrica

> 12 ejercicios de sustitución trigonométrica con respuestas y soluciones completas para √(a²−x²), √(a²+x²), √(x²−a²) y completar el cuadrado.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/ejercicios-resueltos/ejercicios-sustitucion-trigonometrica
Actualizado: 2026-11-06

$$ \sqrt{a^2 - x^2}:\ x = a\sin\theta \quad \sqrt{a^2 + x^2}:\ x = a\tan\theta \quad \sqrt{x^2 - a^2}:\ x = a\sec\theta $$

## De un vistazo

- **Ejercicios:** 12, con respuestas y soluciones completas
- **Nivel:** Cálculo 2
- **Necesitas:** [Integrales trigonométricas](/practice-problems/trig-integrals) y las identidades pitagóricas
- **Idea principal:** Elige $x$ de modo que la expresión bajo la raíz se convierta en el cuadrado perfecto de una función trigonométrica
- **Practica con números nuevos:** [Lección de sustitución trigonométrica](/learn/calculus-2/integration-techniques/trig-substitution)

## Ideas clave

- Identifica la forma: $a^2 - x^2$ usa $x = a\sin\theta$, $a^2 + x^2$ usa $x = a\tan\theta$ y $x^2 - a^2$ usa $x = a\sec\theta$.
- Sustituye también $dx$: $x = a\sin\theta$ da $dx = a\cos\theta\,d\theta$.
- Dibuja un triángulo rectángulo a partir de la sustitución para volver de $\theta$ a $x$.

Estos **ejercicios de sustitución trigonométrica** cubren las tres formas estándar, algunos casos que salen directamente por fórmula, integrales definidas y completar el cuadrado. Intenta cada uno primero. Las respuestas van primero para que puedas comprobar rápido, y luego las soluciones completas.

Elige la sustitución según la forma que hay bajo la raíz:

| Expresión | Sustitución | Identidad que se usa |
| --- | --- | --- |
| $\sqrt{a^2 - x^2}$ | $x = a\sin\theta$ | $1 - \sin^2\theta = \cos^2\theta$ |
| $\sqrt{a^2 + x^2}$ | $x = a\tan\theta$ | $1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$ |
| $\sqrt{x^2 - a^2}$ | $x = a\sec\theta$ | $\sec^2\theta - 1 = \tan^2\theta$ |

## Ejercicios

**Por fórmula**

1. $\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{4 - x^2}}\,dx$
2. $\displaystyle\int\frac{1}{9 + x^2}\,dx$
3. $\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{x^2 + 9}}\,dx$

**Sustituciones completas**

4. $\displaystyle\int\sqrt{1 - x^2}\,dx$
5. $\displaystyle\int\frac{x^2}{\sqrt{9 - x^2}}\,dx$
6. $\displaystyle\int\frac{1}{x^2\sqrt{4 - x^2}}\,dx$
7. $\displaystyle\int\frac{1}{(x^2 + 4)^{3/2}}\,dx$
8. $\displaystyle\int\frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x}\,dx$ para $x > 1$

**Integrales definidas**

9. $\displaystyle\int_0^1\sqrt{1 - x^2}\,dx$
10. $\displaystyle\int_0^2\frac{1}{x^2 + 4}\,dx$

**Completa primero el cuadrado**

11. $\displaystyle\int\frac{1}{x^2 + 2x + 5}\,dx$
12. $\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{3 - 2x - x^2}}\,dx$

## Respuestas

| Ejercicio | Respuesta |
| --- | --- |
| 1 | $\arcsin\dfrac{x}{2} + C$ |
| 2 | $\dfrac{1}{3}\arctan\dfrac{x}{3} + C$ |
| 3 | $\ln\left\lvert x + \sqrt{x^2 + 9}\right\rvert + C$ |
| 4 | $\dfrac{1}{2}\left(\arcsin x + x\sqrt{1 - x^2}\right) + C$ |
| 5 | $\dfrac{9}{2}\arcsin\dfrac{x}{3} - \dfrac{x}{2}\sqrt{9 - x^2} + C$ |
| 6 | $-\dfrac{\sqrt{4 - x^2}}{4x} + C$ |
| 7 | $\dfrac{x}{4\sqrt{x^2 + 4}} + C$ |
| 8 | $\sqrt{x^2 - 1} - \operatorname{arcsec} x + C$ |
| 9 | $\dfrac{\pi}{4}$ |
| 10 | $\dfrac{\pi}{8}$ |
| 11 | $\dfrac{1}{2}\arctan\dfrac{x + 1}{2} + C$ |
| 12 | $\arcsin\dfrac{x + 1}{2} + C$ |

## Soluciones paso a paso

**1.** Sea $x = 2\sin\theta$, así que $dx = 2\cos\theta\,d\theta$ y $\sqrt{4 - x^2} = 2\cos\theta$. La integral queda $\int d\theta = \theta$:

$$\arcsin\frac{x}{2} + C$$

**2.** Sea $x = 3\tan\theta$, así que $dx = 3\sec^2\theta\,d\theta$ y $9 + x^2 = 9\sec^2\theta$:

$$\int\frac{3\sec^2\theta}{9\sec^2\theta}\,d\theta = \frac{\theta}{3} + C = \frac{1}{3}\arctan\frac{x}{3} + C$$

**3.** Sea $x = 3\tan\theta$, así que $\sqrt{x^2 + 9} = 3\sec\theta$ y la integral queda $\int\sec\theta\,d\theta = \ln|\sec\theta + \tan\theta|$. Por el triángulo, $\sec\theta = \frac{\sqrt{x^2+9}}{3}$ y $\tan\theta = \frac{x}{3}$. El $\ln 3$ que aparece se suma a la constante:

$$\ln\left|x + \sqrt{x^2 + 9}\right| + C$$

**4.** Sea $x = \sin\theta$, así que la integral es $\int\cos^2\theta\,d\theta = \frac{\theta}{2} + \frac{\sin\theta\cos\theta}{2}$. Con $\sin\theta = x$ y $\cos\theta = \sqrt{1 - x^2}$, obtienes la respuesta de la tabla. Consulta la [integral de √(1 − x²)](/integrals/sqrt-1-minus-x-squared).

**5.** Sea $x = 3\sin\theta$. Entonces $x^2 = 9\sin^2\theta$, $dx = 3\cos\theta\,d\theta$ y $\sqrt{9 - x^2} = 3\cos\theta$:

$$\int 9\sin^2\theta\,d\theta = \frac{9}{2}\left(\theta - \sin\theta\cos\theta\right) + C$$

Como $\sin\theta\cos\theta = \frac{x}{3}\cdot\frac{\sqrt{9 - x^2}}{3}$, esto da $\frac{9}{2}\arcsin\frac{x}{3} - \frac{x}{2}\sqrt{9 - x^2} + C$.

**6.** Sea $x = 2\sin\theta$. Entonces $x^2 = 4\sin^2\theta$ y $\sqrt{4 - x^2} = 2\cos\theta$:

$$\int\frac{2\cos\theta}{4\sin^2\theta\cdot 2\cos\theta}\,d\theta = \frac{1}{4}\int\csc^2\theta\,d\theta = -\frac{\cot\theta}{4} + C$$

Por el triángulo, $\cot\theta = \frac{\sqrt{4 - x^2}}{x}$.

**7.** Sea $x = 2\tan\theta$. Entonces $(x^2 + 4)^{3/2} = 8\sec^3\theta$ y $dx = 2\sec^2\theta\,d\theta$:

$$\int\frac{2\sec^2\theta}{8\sec^3\theta}\,d\theta = \frac{1}{4}\int\cos\theta\,d\theta = \frac{\sin\theta}{4} + C$$

Por el triángulo, $\sin\theta = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}$.

**8.** Sea $x = \sec\theta$, así que $dx = \sec\theta\tan\theta\,d\theta$ y $\sqrt{x^2 - 1} = \tan\theta$:

$$\int\frac{\tan\theta}{\sec\theta}\sec\theta\tan\theta\,d\theta = \int\tan^2\theta\,d\theta = \tan\theta - \theta + C$$

Con $\tan\theta = \sqrt{x^2 - 1}$ y $\theta = \operatorname{arcsec} x$, obtienes la respuesta.

**9.** Usa el ejercicio 4: $\frac{1}{2}\left(\arcsin 1 + 0\right) - 0 = \frac{\pi}{4}$. Es un cuarto del círculo unidad.

**10.** Usa $\frac{1}{2}\arctan\frac{x}{2}$:

$$\frac{1}{2}\arctan 1 - \frac{1}{2}\arctan 0 = \frac{\pi}{8}$$

**11.** Completa el cuadrado: $x^2 + 2x + 5 = (x + 1)^2 + 4$. Con $u = x + 1$, queda $\int\frac{du}{u^2 + 4} = \frac{1}{2}\arctan\frac{u}{2}$.

**12.** Completa el cuadrado: $3 - 2x - x^2 = 4 - (x + 1)^2$. Con $u = x + 1$, queda $\int\frac{du}{\sqrt{4 - u^2}} = \arcsin\frac{u}{2}$.

## Errores comunes en estos ejercicios

- **Elegir la sustitución equivocada.** $\sqrt{9 + x^2}$ necesita $\tan$, no $\sin$. Fíjate en el patrón de signos de la tabla de arriba.
- **Olvidar sustituir $dx$.** Con $x = 2\tan\theta$, $dx = 2\sec^2\theta\,d\theta$. Dejar $dx$ sin cambiar estropea todos los pasos siguientes.
- **Dejar la respuesta en $\theta$.** Una integral indefinida en $x$ necesita una respuesta en $x$. Usa el triángulo.
- **Usar sustitución trigonométrica cuando basta un cambio de variable simple.** $\int x\sqrt{4 - x^2}\,dx$ sale en una línea con $u = 4 - x^2$.

## Sigue practicando

Para practicar sin límite con corrección al instante, prueba la [lección de sustitución trigonométrica](/learn/calculus-2/integration-techniques/trig-substitution) y la [lección para elegir una estrategia](/learn/calculus-2/integration-techniques/choosing-a-strategy). Para ver ejemplos resueltos, lee la [guía de sustitución trigonométrica](/blog/trig-substitution). Para funciones racionales sin raíces, sigue con los [ejercicios de fracciones parciales](/practice-problems/partial-fractions).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuándo se usa la sustitución trigonométrica?

Úsala cuando veas $\sqrt{a^2 - x^2}$, $\sqrt{a^2 + x^2}$, $\sqrt{x^2 - a^2}$ o $a^2 + x^2$ elevado a una potencia, y no funcione un cambio de variable más sencillo. Si hay un factor $x$ fuera de la raíz, como en $\int x\sqrt{1 - x^2}\,dx$, prueba primero un cambio de variable simple.

### ¿Cómo se vuelve a x después de la sustitución trigonométrica?

Dibuja un triángulo rectángulo. Para $x = 2\sin\theta$, el cateto opuesto es $x$ y la hipotenusa $2$. El cateto contiguo es entonces $\sqrt{4 - x^2}$, y puedes leer $\cos\theta$, $\tan\theta$ o cualquier otra razón.

### ¿Qué se hace con un polinomio de segundo grado que no está en la forma estándar?

Completa primero el cuadrado. Por ejemplo, $x^2 + 2x + 5 = (x + 1)^2 + 4$, que coincide con $u^2 + a^2$ para $u = x + 1$ y $a = 2$. Los ejercicios 11 y 12 lo muestran.