# Ejercicios resueltos del Teorema del Valor Medio con soluciones > 12 ejercicios del Teorema del Valor Medio con respuestas y soluciones completas: hallar c, teorema de Rolle, comprobar hipótesis, cotas y contar raíces. Fuente: https://practicecalculus.com/es/ejercicios-resueltos/ejercicios-teorema-del-valor-medio Actualizado: 2026-11-06 $$ f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} $$ ## De un vistazo - **Ejercicios:** 12, con respuestas y soluciones completas - **Nivel:** Cálculo 1 y AP Calculus AB, unidad 5 - **Necesitas:** Derivadas y el significado de [continuidad](/practice-problems/continuity) - **Idea principal:** En algún punto entre a y b, la pendiente de la tangente es igual a la pendiente media - **Practica con números nuevos:** [Lección de aproximación lineal y TVM](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/linear-approximation-and-mvt) ## Ideas clave - Comprueba primero las dos hipótesis: $f$ continua en $[a, b]$ y derivable en $(a, b)$. - Para hallar $c$, calcula la pendiente media, iguala $f'(c)$ a ella y quédate solo con las soluciones estrictamente entre $a$ y $b$. - El TVM convierte información sobre $f'$ en información sobre $f$. Así se acotan valores y se demuestra que una ecuación tiene una sola raíz. Estos **ejercicios del Teorema del Valor Medio** (también llamado teorema de Lagrange) empiezan hallando el valor de $c$, y luego cubren el teorema de Rolle, casos en los que el teorema no se aplica y sus dos usos clásicos: acotar una función y demostrar que una ecuación tiene exactamente una raíz. Intenta cada uno primero. Las respuestas aparecen justo después de la lista, y luego las soluciones completas. El teorema: si $f$ es continua en $[a, b]$ y derivable en $(a, b)$, entonces para algún $c$ en $(a, b)$, $$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$ Consulta las páginas del [Teorema del Valor Medio](/theorems/mean-value-theorem) y del [teorema de Rolle](/theorems/rolles-theorem) para ver la demostración, o la [guía del TVM](/blog/mean-value-theorem) para más ejemplos. ## Ejercicios **Halla c** 1. $f(x) = x^2$ en $[1, 3]$ 2. $f(x) = x^3$ en $[0, 3]$ 3. $f(x) = \sqrt{x}$ en $[0, 4]$ 4. $f(x) = \dfrac{1}{x}$ en $[1, 4]$ 5. $f(x) = \ln x$ en $[1, e]$ 6. $f(x) = x^3 - 3x$ en $[-2, 2]$ **Teorema de Rolle** 7. Comprueba el teorema de Rolle para $f(x) = x^2 - 4x + 1$ en $[0, 4]$ y halla $c$. **¿Se aplica el teorema?** 8. ¿Se aplica el TVM a $f(x) = \dfrac{1}{x}$ en $[-1, 1]$? 9. ¿Se aplica el TVM a $f(x) = |x|$ en $[-1, 2]$? ¿Hay de todos modos algún $c$ que funcione? **Usar el teorema** 10. Un coche recorre $150$ millas en $2$ horas. Demuestra que en algún momento su velocidad fue exactamente $75$ mph (millas por hora). 11. Supón que $f(1) = 3$ y $f'(x) \le 5$ para todo $x$. ¿Cuál es el mayor valor posible de $f(4)$? 12. Demuestra que $x^3 + 2x - 1 = 0$ tiene exactamente una solución real. ## Respuestas | Ejercicio | Respuesta | | --- | --- | | 1 | $c = 2$ | | 2 | $c = \sqrt{3} \approx 1.732$ | | 3 | $c = 1$ | | 4 | $c = 2$ | | 5 | $c = e - 1 \approx 1.718$ | | 6 | $c = \pm\dfrac{2}{\sqrt{3}} \approx \pm 1.155$ | | 7 | $f(0) = f(4) = 1$, y $c = 2$ | | 8 | No, $f$ no es continua en $x = 0$ | | 9 | No, $f$ no es derivable en $0$, y ningún $c$ funciona | | 10 | Por el TVM, en algún instante la velocidad es igual a la velocidad media de $75$ mph | | 11 | $18$ | | 12 | El TVI da al menos una raíz, y el teorema de Rolle descarta una segunda | ## Soluciones paso a paso **1.** $f$ es un polinomio, así que se cumplen las hipótesis. La pendiente media es $\frac{9 - 1}{3 - 1} = 4$, y $f'(c) = 2c$: $$2c = 4 \quad\Rightarrow\quad c = 2$$ **2.** La pendiente media es $\frac{27 - 0}{3} = 9$, y $f'(c) = 3c^2$: $$3c^2 = 9 \quad\Rightarrow\quad c = \pm\sqrt{3}$$ Solo $c = \sqrt{3}$ está en $(0, 3)$. **3.** $\sqrt{x}$ es continua en $[0, 4]$ y derivable en $(0, 4)$. Eso basta, aunque la derivada no exista en $x = 0$. La pendiente media es $\frac{2 - 0}{4} = \frac{1}{2}$: $$\frac{1}{2\sqrt{c}} = \frac{1}{2} \quad\Rightarrow\quad \sqrt{c} = 1 \quad\Rightarrow\quad c = 1$$ **4.** $\frac{1}{x}$ no da problemas en $[1, 4]$ porque $0$ no está en el intervalo. La pendiente media es $\frac{\frac{1}{4} - 1}{3} = -\frac{1}{4}$: $$-\frac{1}{c^2} = -\frac{1}{4} \quad\Rightarrow\quad c^2 = 4 \quad\Rightarrow\quad c = 2$$ **5.** La pendiente media es $\frac{\ln e - \ln 1}{e - 1} = \frac{1}{e - 1}$, y $f'(c) = \frac{1}{c}$: $$\frac{1}{c} = \frac{1}{e - 1} \quad\Rightarrow\quad c = e - 1 \approx 1.718$$ Este valor está entre $1$ y $e \approx 2.718$, como debe ser. **6.** $f(2) = 8 - 6 = 2$ y $f(-2) = -8 + 6 = -2$, así que la pendiente media es $\frac{2 - (-2)}{4} = 1$: $$3c^2 - 3 = 1 \quad\Rightarrow\quad c^2 = \frac{4}{3} \quad\Rightarrow\quad c = \pm\frac{2}{\sqrt{3}} \approx \pm 1.155$$ Ambos valores están en $(-2, 2)$, así que los dos sirven. El TVM garantiza al menos un $c$, no exactamente uno. **7.** $f$ es un polinomio, y $f(0) = 1$ y $f(4) = 16 - 16 + 1 = 1$ son iguales, así que se aplica el teorema de Rolle. Resuelve $f'(c) = 0$: $$2c - 4 = 0 \quad\Rightarrow\quad c = 2$$ **8.** No. $\frac{1}{x}$ no está definida en $x = 0$, que está dentro de $[-1, 1]$, así que $f$ no es continua en el intervalo. De hecho, la pendiente media es $\frac{1 - (-1)}{2} = 1$, pero $f'(x) = -\frac{1}{x^2}$ siempre es negativa, así que ningún $c$ funciona. **9.** $|x|$ es continua en $[-1, 2]$ pero no es derivable en $x = 0$, así que el TVM no se aplica. La pendiente media es $\frac{2 - 1}{3} = \frac{1}{3}$, pero $f'(x)$ solo vale $-1$ o $1$. Ningún $c$ da $\frac{1}{3}$, lo que muestra por qué importa la hipótesis de derivabilidad. **10.** Sea $s(t)$ la distancia recorrida después de $t$ horas. La posición es continua y derivable, y $s'(t)$ es la velocidad. Por el TVM existe un instante $c$ en $(0, 2)$ con $$s'(c) = \frac{s(2) - s(0)}{2 - 0} = \frac{150}{2} = 75 \text{ mph}$$ **11.** Aplica el TVM en $[1, 4]$. Para algún $c$ en $(1, 4)$: $$f(4) - f(1) = f'(c)(4 - 1) \le 5\cdot 3 = 15$$ Así que $f(4) \le 3 + 15 = 18$. El valor $18$ se alcanza cuando $f'(x) = 5$ en todas partes, por ejemplo con $f(x) = 5x - 2$. **12.** **Al menos una raíz.** Sea $f(x) = x^3 + 2x - 1$. Es continua, con $f(0) = -1 < 0$ y $f(1) = 2 > 0$. Por el [Teorema del Valor Intermedio](/theorems/intermediate-value-theorem), hay una raíz en $(0, 1)$. **Como mucho una raíz.** Supón que hubiera dos raíces $a < b$. Entonces $f(a) = f(b) = 0$, y el teorema de Rolle daría un $c$ con $f'(c) = 0$. Pero $f'(x) = 3x^2 + 2 \ge 2$ nunca vale $0$. Así que no puede haber dos raíces, y hay exactamente una. ## Errores comunes en estos ejercicios - **Saltarse las hipótesis.** Los ejercicios 8 y 9 muestran que sin continuidad o derivabilidad la conclusión puede fallar. - **Quedarse con un $c$ fuera del intervalo.** En el ejercicio 2, $c = -\sqrt{3}$ resuelve la ecuación pero no está en $(0, 3)$. - **Parar en un solo $c$.** En el ejercicio 6 hay dos valores válidos. Escribe todas las soluciones del intervalo. - **Confundir la tasa media con la instantánea.** El lado izquierdo del TVM es una derivada en un punto. El lado derecho es la pendiente de la recta secante en todo el intervalo. ## Sigue practicando Estos 12 ejercicios usan números fijos. Para practicar sin límite con funciones nuevas y corrección al instante, prueba la [lección de aproximación lineal y TVM](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/linear-approximation-and-mvt). Para repasar la hipótesis de continuidad, usa los [ejercicios de continuidad](/practice-problems/continuity), y para una idea parecida con integrales, consulta el [Teorema del Valor Medio para integrales](/theorems/mean-value-theorem-for-integrals). ## Preguntas frecuentes ### ¿Qué dice el Teorema del Valor Medio? Si $f$ es continua en $[a, b]$ y derivable en $(a, b)$, existe al menos un $c$ en $(a, b)$ con $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$. Alguna recta tangente es paralela a la recta secante que pasa por los extremos. ### ¿Cómo se halla c en el Teorema del Valor Medio? Calcula la pendiente media $\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$, iguala $f'(c)$ a ella y despeja $c$. Quédate solo con los valores estrictamente entre $a$ y $b$. Puede haber más de uno, como en el ejercicio 6. ### ¿Qué diferencia hay entre el teorema de Rolle y el Teorema del Valor Medio? El teorema de Rolle es el caso particular en que $f(a) = f(b)$. Entonces la pendiente media es $0$, así que existe un $c$ con $f'(c) = 0$, una tangente horizontal. El TVM es el teorema de Rolle inclinado.