# Ejercicios del Teorema Fundamental del Cálculo resueltos > 12 ejercicios del Teorema Fundamental del Cálculo con respuestas: derivadas con límites variables, regla de Barrow y funciones de acumulación. Fuente: https://practicecalculus.com/es/ejercicios-resueltos/ejercicios-teorema-fundamental-del-calculo Actualizado: 2026-11-06 $$ \frac{d}{dx}\int_a^{g(x)} f(t)\,dt = f(g(x))\,g'(x) $$ ## De un vistazo - **Ejercicios:** 12, con respuestas y soluciones completas - **Nivel:** Cálculo 1 y AP Calculus AB, unidad 6 - **Necesitas:** La [regla de la cadena](/rules/chain-rule) y las antiderivadas básicas - **Idea principal:** Parte 1: sustituye el límite superior en el integrando y multiplica por su derivada. Parte 2: $F(b) - F(a)$ - **Practica con números nuevos:** [Lección del Teorema Fundamental, parte 1](/learn/calculus-1/integrals/fundamental-theorem-part-1) ## Ideas clave - Parte 1: la derivada de $\int_a^x f(t)\,dt$ es $f(x)$. Si el límite superior es una función, multiplica por su derivada. - Si $x$ está en el límite inferior, intercambia primero los límites, lo que añade un signo menos. - Una función de acumulación crece donde su integrando es positivo y decrece donde es negativo. Estos **ejercicios del Teorema Fundamental del Cálculo** cubren las dos partes del teorema: derivar integrales con límites variables, calcular integrales definidas e interpretar funciones de acumulación. Intenta cada uno primero. Las respuestas van primero y después las soluciones completas. Las dos partes: $$\text{Parte 1: } \frac{d}{dx}\int_a^{x} f(t)\,dt = f(x) \qquad \text{Parte 2: } \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$$ Con la regla de la cadena, la parte 1 se convierte en $\frac{d}{dx}\int_a^{g(x)} f(t)\,dt = f(g(x))\,g'(x)$. Para el razonamiento, consulta la [parte 1](/theorems/fundamental-theorem-of-calculus-part-1) y la [parte 2](/theorems/fundamental-theorem-of-calculus-part-2). ## Ejercicios **Parte 1: derivadas de integrales** 1. $\displaystyle\frac{d}{dx}\int_1^{x}(t^3 + 1)\,dt$ 2. $\displaystyle\frac{d}{dx}\int_0^{x^2}\cos t\,dt$ 3. $\displaystyle\frac{d}{dx}\int_x^{5}e^{t^2}\,dt$ 4. $\displaystyle\frac{d}{dx}\int_x^{x^2}\frac{1}{t}\,dt$ para $x > 0$ 5. $\displaystyle\frac{d}{dx}\int_0^{\sin x}(1 + t^2)\,dt$ **Parte 2: cálculo de integrales** 6. $\displaystyle\int_1^{2}(6x^2 - 2)\,dx$ 7. $\displaystyle\int_0^{\pi}\sin x\,dx$ 8. $\displaystyle\int_0^{\ln 3}e^x\,dx$ 9. $\displaystyle\int_0^{1}\frac{1}{1 + x^2}\,dx$ **Funciones de acumulación** 10. Sea $g(x) = \int_0^{x}(t^2 - 4)\,dt$. ¿Dónde es creciente $g$? Halla el mínimo local de $g$ y su valor. 11. Sea $F(x) = \int_2^{x}\sqrt{t^2 + 5}\,dt$. Halla $F(2)$ y $F'(2)$. 12. Sea $g(x) = \int_0^{x}\sin(t^2)\,dt$. Halla $g''(x)$. ## Respuestas | Ejercicio | Respuesta | | --- | --- | | 1 | $x^3 + 1$ | | 2 | $2x\cos(x^2)$ | | 3 | $-e^{x^2}$ | | 4 | $\frac{1}{x}$ | | 5 | $(1 + \sin^2 x)\cos x$ | | 6 | $12$ | | 7 | $2$ | | 8 | $2$ | | 9 | $\frac{\pi}{4}$ | | 10 | Creciente para $\lvert x\rvert > 2$; mínimo local en $x = 2$, $g(2) = -\frac{16}{3}$ | | 11 | $F(2) = 0$, $F'(2) = 3$ | | 12 | $2x\cos(x^2)$ | ## Soluciones paso a paso **1.** El límite superior es simplemente $x$, así que sustituye $t$ por $x$. El límite inferior $1$ no importa: $$x^3 + 1$$ **2.** El límite superior es $x^2$, así que sustitúyelo y multiplica por su derivada $2x$: $$\cos(x^2)\cdot 2x = 2x\cos(x^2)$$ **3.** La variable está en el límite inferior. Intercambia los límites para obtener $-\int_5^{x}e^{t^2}\,dt$ y usa la parte 1: $$-e^{x^2}$$ Observa que $e^{t^2}$ no tiene antiderivada elemental, así que la parte 1 es la única forma de resolverlo. **4.** Límite superior menos límite inferior, cada uno con su factor de la regla de la cadena: $$\frac{1}{x^2}\cdot 2x - \frac{1}{x}\cdot 1 = \frac{2}{x} - \frac{1}{x} = \frac{1}{x}$$ Comprobación: la integral es igual a $\ln(x^2) - \ln x = \ln x$, cuya derivada es $\frac{1}{x}$. **5.** Sustituye $\sin x$ en $1 + t^2$ y multiplica por $\cos x$: $$(1 + \sin^2 x)\cos x$$ **6.** Una antiderivada es $2x^3 - 2x$: $$(16 - 4) - (2 - 2) = 12$$ **7.** Una antiderivada de $\sin x$ es $-\cos x$: $$-\cos\pi - (-\cos 0) = 1 + 1 = 2$$ **8.** Como $e^{\ln 3} = 3$: $$e^{\ln 3} - e^0 = 3 - 1 = 2$$ **9.** Una antiderivada es $\arctan x$: $$\arctan 1 - \arctan 0 = \frac{\pi}{4}$$ **10.** Por la parte 1, $g'(x) = x^2 - 4$. Es positiva cuando $|x| > 2$, así que $g$ crece en $(-\infty, -2)$ y $(2, \infty)$. En $x = 2$, $g'$ pasa de negativa a positiva, así que $g$ tiene ahí un mínimo local: $$g(2) = \int_0^2 (t^2 - 4)\,dt = \frac{8}{3} - 8 = -\frac{16}{3}$$ **11.** Cuando los límites coinciden, la integral vale $0$, así que $F(2) = 0$. Por la parte 1, $F'(x) = \sqrt{x^2 + 5}$, así que $F'(2) = \sqrt{9} = 3$. **12.** Primero $g'(x) = \sin(x^2)$. Deriva otra vez con la regla de la cadena: $$g''(x) = \cos(x^2)\cdot 2x = 2x\cos(x^2)$$ ## Errores comunes en estos ejercicios - **Olvidar el factor de la regla de la cadena.** En el ejercicio 2, $\cos(x^2)$ a secas es incorrecto. Multiplica por la derivada del límite superior. - **Ignorar un límite inferior variable.** En el ejercicio 3, el signo menos sale de intercambiar los límites. - **Intentar integrar primero cuando no se puede.** $e^{t^2}$ y $\sin(t^2)$ no tienen antiderivadas elementales. La parte 1 te permite saltarte ese paso. - **Confundir $g$ con $g'$.** En el ejercicio 10, $g$ crece donde el integrando es positivo, no donde $g$ es positiva. ## Sigue practicando Para practicar sin límite con corrección al instante, prueba la [lección del Teorema Fundamental, parte 1](/learn/calculus-1/integrals/fundamental-theorem-part-1), la [lección de la parte 2](/learn/calculus-1/integrals/fundamental-theorem-part-2) y la [lección de funciones de acumulación](/learn/calculus-1/integrals/accumulation-functions). Para una visión de conjunto, lee la [guía del Teorema Fundamental](/blog/fundamental-theorem-of-calculus). Después pasa a los [ejercicios de sustitución](/practice-problems/u-substitution). ## Preguntas frecuentes ### ¿Qué diferencia hay entre la parte 1 y la parte 2 del Teorema Fundamental? La parte 1 dice que al derivar una integral con límite superior variable se recupera el integrando. La parte 2 (la regla de Barrow) dice que puedes calcular una integral definida con cualquier antiderivada, como $F(b) - F(a)$. La parte 1 trata de derivadas de integrales; la parte 2, de calcular integrales. ### ¿Por qué la derivada de una integral no depende del límite inferior? Cambiar un límite inferior constante solo suma o resta una cantidad fija de área, que es una constante. Las constantes tienen derivada cero. ### ¿Y si ambos límites dependen de x? Divide la integral en una constante, o usa la regla directamente: $\frac{d}{dx}\int_{h(x)}^{g(x)} f(t)\,dt = f(g(x))g'(x) - f(h(x))h'(x)$. El ejercicio 4 lo muestra.