# Ejercicios resueltos de volúmenes de revolución con soluciones

> 11 ejercicios de volúmenes de revolución con respuestas y soluciones completas por los métodos de discos, arandelas y capas, también con otros ejes.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/ejercicios-resueltos/ejercicios-volumenes-de-revolucion
Actualizado: 2026-11-06

$$ V = \pi\int_a^b \big(R(x)^2 - r(x)^2\big)\,dx \qquad V = 2\pi\int_a^b x\,h(x)\,dx $$

## De un vistazo

- **Ejercicios:** 11, con respuestas y soluciones completas
- **Nivel:** Cálculo 1, Cálculo 2 y AP Calculus, unidad 8
- **Necesitas:** [Área entre curvas](/practice-problems/area-between-curves) e [integrales definidas](/practice-problems/definite-integrals)
- **Idea principal:** Corta el sólido en discos, arandelas o capas, halla el volumen de un corte y súmalos
- **Practica con números nuevos:** [Lección de volúmenes por discos](/learn/calculus-1/applications-of-integrals/volumes-disks)

## Ideas clave

- Disco: $\pi\int R^2$. Arandela: $\pi\int(R^2 - r^2)$. Capas: $2\pi\int(\text{radio})(\text{altura})$.
- Un radio es una distancia al eje. Para un eje como $y = -1$, suma o resta para obtener la distancia.
- Eleva al cuadrado cada radio por separado: $R^2 - r^2$, nunca $(R - r)^2$.

Estos **ejercicios de volúmenes de revolución** cubren los métodos de discos, arandelas y capas cilíndricas, la rotación alrededor del eje $y$ y la rotación alrededor de rectas que no son ejes. Intenta cada uno primero. Las respuestas van primero para que puedas comprobar rápido, y luego las soluciones completas.

Las tres fórmulas, para rotación alrededor del eje $x$ o del eje $y$:

$$\text{Disco: } V = \pi\int_a^b R^2\,dx \qquad \text{Arandela: } V = \pi\int_a^b (R^2 - r^2)\,dx \qquad \text{Capas: } V = 2\pi\int_a^b x\,h(x)\,dx$$

Para ver dibujos de cada corte, lee la [guía de volúmenes de revolución](/blog/volumes-of-revolution).

## Ejercicios

**Discos alrededor del eje x**

1. $y = \sqrt{x}$, $0 \le x \le 4$, alrededor del eje $x$
2. $y = x^2$, $0 \le x \le 1$, alrededor del eje $x$
3. $y = \sqrt{9 - x^2}$, $-3 \le x \le 3$, alrededor del eje $x$
4. $y = \sin x$, $0 \le x \le \pi$, alrededor del eje $x$

**Arandelas**

5. La región entre $y = x$ e $y = x^2$, alrededor del eje $x$
6. La región entre $y = \sqrt{x}$ e $y = x$, alrededor del eje $x$

**Alrededor del eje y**

7. La región entre $y = x^2$, $y = 4$ y el eje $y$ ($x \ge 0$), alrededor del eje $y$, por discos
8. La región bajo $y = x - x^2$ en $[0, 1]$, alrededor del eje $y$, por capas
9. La región bajo $y = x^2$ en $[0, 2]$, alrededor del eje $y$, por capas

**Otros ejes**

10. La región entre $y = x$ e $y = x^2$, alrededor de la recta $y = -1$
11. La región entre $y = x^2$ e $y = 1$, alrededor de la recta $y = 1$

## Respuestas

| Ejercicio | Respuesta |
| --- | --- |
| 1 | $8\pi$ |
| 2 | $\frac{\pi}{5}$ |
| 3 | $36\pi$ |
| 4 | $\frac{\pi^2}{2}$ |
| 5 | $\frac{2\pi}{15}$ |
| 6 | $\frac{\pi}{6}$ |
| 7 | $8\pi$ |
| 8 | $\frac{\pi}{6}$ |
| 9 | $8\pi$ |
| 10 | $\frac{7\pi}{15}$ |
| 11 | $\frac{16\pi}{15}$ |

## Soluciones paso a paso

**1.** Cada corte es un disco de radio $\sqrt{x}$:

$$\pi\int_0^4 x\,dx = \pi\cdot 8 = 8\pi$$

**2.** El radio es $x^2$, así que $R^2 = x^4$:

$$\pi\int_0^1 x^4\,dx = \frac{\pi}{5}$$

**3.** El radio al cuadrado es $9 - x^2$:

$$\pi\int_{-3}^{3}(9 - x^2)\,dx = \pi(54 - 18) = 36\pi$$

Es una esfera de radio $3$, y $\frac{4}{3}\pi(3)^3 = 36\pi$. Buena comprobación.

**4.** Usa $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$:

$$\pi\int_0^{\pi}\sin^2 x\,dx = \pi\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{\pi^2}{2}$$

**5.** En $[0, 1]$, la recta $y = x$ está más lejos del eje, así que $R = x$ y $r = x^2$:

$$\pi\int_0^1(x^2 - x^4)\,dx = \pi\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) = \frac{2\pi}{15}$$

**6.** En $[0, 1]$, $\sqrt{x} \ge x$, así que $R = \sqrt{x}$ y $r = x$:

$$\pi\int_0^1(x - x^2)\,dx = \pi\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) = \frac{\pi}{6}$$

**7.** Corta en horizontal. A la altura $y$, el radio es $x = \sqrt{y}$, así que $R^2 = y$:

$$\pi\int_0^4 y\,dy = 8\pi$$

**8.** Una capa en $x$ tiene radio $x$ y altura $x - x^2$:

$$2\pi\int_0^1 x(x - x^2)\,dx = 2\pi\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) = \frac{\pi}{6}$$

**9.** Una capa en $x$ tiene radio $x$ y altura $x^2$:

$$2\pi\int_0^2 x^3\,dx = 2\pi\cdot 4 = 8\pi$$

Los ejercicios 7 y 9 describen sólidos distintos que casualmente tienen el mismo volumen. El ejercicio 7 es el sólido que llena el cuenco del paraboloide; el ejercicio 9 es el sólido bajo el cuenco, entre el cuenco y el cilindro $x = 2$. Juntos llenan un cilindro de radio $2$ y altura $4$, de volumen $16\pi$.

**10.** Mide desde $y = -1$. El radio exterior es $x + 1$ y el interior $x^2 + 1$:

$$\pi\int_0^1\big[(x + 1)^2 - (x^2 + 1)^2\big]dx = \pi\int_0^1(2x - x^2 - x^4)\,dx = \pi\left(1 - \frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) = \frac{7\pi}{15}$$

**11.** La región toca la recta $y = 1$, así que usa discos. El radio es $1 - x^2$, y las curvas se cortan en $x = \pm 1$:

$$\pi\int_{-1}^{1}(1 - x^2)^2\,dx = 2\pi\int_0^1(1 - 2x^2 + x^4)\,dx = 2\pi\cdot\frac{8}{15} = \frac{16\pi}{15}$$

## Errores comunes en estos ejercicios

- **Escribir $(R - r)^2$.** En el ejercicio 5, $\pi\int(x - x^2)^2\,dx$ da $\frac{\pi}{30}$, no $\frac{2\pi}{15}$. Eleva al cuadrado cada radio por separado.
- **Medir desde el eje equivocado.** En el ejercicio 10, los radios son $x + 1$ y $x^2 + 1$, no $x$ y $x^2$.
- **Olvidar el $\pi$ o el $2\pi$.** Las fórmulas de discos y arandelas empiezan con $\pi$. La de capas empieza con $2\pi$.
- **Mezclar variables.** Los cortes horizontales necesitan todo en función de $y$, incluidos los límites.

## Sigue practicando

Para practicar sin límite con sólidos nuevos y corrección al instante, prueba la [lección de discos](/learn/calculus-1/applications-of-integrals/volumes-disks), la [lección de arandelas](/learn/calculus-1/applications-of-integrals/volumes-washers) y la [lección de secciones transversales](/learn/calculus-1/applications-of-integrals/volumes-cross-sections). Si una región se extiende hasta el infinito, los [ejercicios de integrales impropias](/practice-problems/improper-integrals) muestran cómo tratarla.

## Preguntas frecuentes

### ¿Cómo se elige entre el método de arandelas y el de capas?

Los dos dan el mismo volumen. Los cortes perpendiculares al eje dan discos o arandelas; los cortes paralelos dan capas cilíndricas. Elige el que tenga funciones y límites más sencillos. Para una región descrita en $x$ que gira alrededor del eje $y$, las capas suelen evitar despejar $x$.

### ¿Qué diferencia hay entre un disco y una arandela?

Un disco es un corte macizo sin agujero, que se usa cuando la región toca el eje. Una arandela tiene un agujero, y se usa cuando hay un hueco entre la región y el eje. El volumen de la arandela es $\pi(R^2 - r^2)$ por el grosor.

### ¿Cómo se gira alrededor de una recta que no es un eje?

Mide cada radio desde esa recta. Al girar alrededor de $y = -1$, una curva $y = f(x)$ situada por encima de la recta tiene radio $f(x) + 1$. El ejercicio 10 lo muestra.