# Arcocoseno arccos(x): gráfica, dominio, rango, derivada e integral

> La función arcocoseno arccos(x), inversa del coseno: dominio [−1, 1], rango [0, π], gráfica, derivada −1/√(1−x²), integral y ejemplos.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/funciones/arcocoseno
Actualizado: 2026-11-03

$$ f(x) = \arccos x = \cos^{-1} x $$

## De un vistazo

- **Dominio:** $[-1, 1]$
- **Rango:** $[0, \pi]$
- **Derivada:** $-\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$
- **Integral:** $x\arccos x - \sqrt{1 - x^2} + C$
- **Significado:** El ángulo en $[0, \pi]$ cuyo coseno es $x$
- **Identidad:** $\arccos x = \frac{\pi}{2} - \arcsin x$

## Ideas clave

- $\arccos x$ es el ángulo en $[0, \pi]$ cuyo coseno es $x$, definido para $-1 \le x \le 1$.
- Su derivada es $-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$, la opuesta de la derivada del arcoseno.
- El arcoseno y el arcocoseno siempre suman $\frac{\pi}{2}$.

La **función arcocoseno** deshace el coseno: $\arccos x$ es el ángulo en $[0, \pi]$ cuyo coseno es $x$. Solo está definida para $-1 \le x \le 1$ y está muy ligada al [arcoseno](/functions/arcsine): ambos siempre suman $\frac{\pi}{2}$.

## Definición de arccos x

$$y = \arccos x \quad\Longleftrightarrow\quad \cos y = x \text{ y } 0 \le y \le \pi$$

Por ejemplo, $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3}$, porque $\cos\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$ y $\frac{2\pi}{3}$ está en $[0, \pi]$. Se usa el intervalo $[0, \pi]$ porque el [coseno](/functions/cosine-function) es inyectivo allí y alcanza todos los valores de $[-1, 1]$.

## Gráfica de y = arccos x

```graph
title: 'Gráfica de y = arccos x en [−1, 1]'
caption: 'El arcocoseno baja desde $\pi$ en $x = -1$ hasta $0$ en $x = 1$, pasando por $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$.'
x: [-1.8, 1.8]
y: [-0.4, 3.6]
functions:
  - expr: arccos(x)
    label: y = arccos x
    domain: [-1, 1]
points:
  - [-1, 3.1416, '(−1, π)']
  - [0, 1.5708, '(0, π/2)']
  - [1, 0, '(1, 0)']
```

A diferencia del arcoseno, el arcocoseno es decreciente y no es ni par ni impar. Su gráfica es simétrica respecto al punto $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$, lo que refleja la identidad $\arccos(-x) = \pi - \arccos x$.

## Valores clave del arcocoseno

| $x$ | $-1$ | $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $-\frac{1}{2}$ | $0$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $\arccos x$ | $\pi$ | $\frac{5\pi}{6}$ | $\frac{2\pi}{3}$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\pi}{6}$ | $0$ |

## Propiedades del arcocoseno

- **Dominio $[-1, 1]$, rango $[0, \pi]$.**
- **Decreciente** en todo su dominio.
- **Cancelación.** $\cos(\arccos x) = x$ para $x$ en $[-1, 1]$; $\arccos(\cos x) = x$ solo para $x$ en $[0, \pi]$.
- **Identidad complementaria.** $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$ para todo $x$ en $[-1, 1]$.
- **Reflexión.** $\arccos(-x) = \pi - \arccos x$.

## Derivada de arccos x

$$\frac{d}{dx}\arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \qquad -1 < x < 1$$

**Por qué.** Sea $y = \arccos x$, de modo que $\cos y = x$. Derivando implícitamente, $-\sin y\cdot y' = 1$, así que $y' = -\frac{1}{\sin y}$. En $[0, \pi]$ se cumple $\sin y \ge 0$, por lo que $\sin y = \sqrt{1 - \cos^2 y} = \sqrt{1 - x^2}$.

Un camino más rápido: deriva $\arccos x = \frac{\pi}{2} - \arcsin x$. La constante desaparece y el signo cambia.

## Integral de arccos x

Usa [integración por partes](/blog/integration-by-parts) con $u = \arccos x$ y $dv = dx$, de modo que $du = -\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$ y $v = x$:

$$\int\arccos x\,dx = x\arccos x + \int\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}\,dx = x\arccos x - \sqrt{1 - x^2} + C$$

Comprobación: la derivada de $-\sqrt{1-x^2}$ es $\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$, que cancela el término $-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$ que sale de la regla del producto en $x\arccos x$ y deja $\arccos x$.

En la práctica rara vez necesitas una antiderivada con "arccos" para $-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$, ya que $-\arcsin x + C$ funciona igual de bien. Las dos respuestas difieren en la constante $\frac{\pi}{2}$.

## Ejemplos resueltos

**Ejemplo 1: regla de la cadena.** Deriva $f(x) = \arccos(x^2)$:

$$f'(x) = -\frac{2x}{\sqrt{1 - x^4}}$$

**Ejemplo 2: evaluar.** $\arccos\left(\cos\frac{5\pi}{3}\right)$. Como $\cos\frac{5\pi}{3} = \frac{1}{2}$, la respuesta es $\arccos\frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$, no $\frac{5\pi}{3}$.

**Ejemplo 3: composición.** Simplifica $\sin(\arccos x)$. Con $\theta = \arccos x$ en $[0, \pi]$, $\sin\theta \ge 0$, así que $\sin(\arccos x) = \sqrt{1 - x^2}$.

**Ejemplo 4: una recta tangente.** En $x = 0$, $\arccos 0 = \frac{\pi}{2}$ y la pendiente es $-\frac{1}{\sqrt{1}} = -1$. La recta tangente es $y = \frac{\pi}{2} - x$.

## Errores comunes

1. **Usar el rango del arcoseno.** $\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{3\pi}{4}$, que está en $[0, \pi]$, no $-\frac{\pi}{4}$.
2. **Olvidar el signo menos en la derivada.** La derivada del arcoseno es positiva; la del arcocoseno es negativa.
3. **Confundir $\cos^{-1}x$ con $\sec x$.** El recíproco $\frac{1}{\cos x}$ es la secante (consulta las [funciones trigonométricas recíprocas](/functions/reciprocal-trig-functions)).
4. **Suponer que $\arccos(\cos x) = x$ siempre.** Solo se cumple para $x$ en $[0, \pi]$.

## Cómo se relaciona el arcocoseno con otros temas

El arcocoseno da el ángulo entre dos vectores, $\theta = \arccos\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|}$, por eso aparece junto al [producto escalar](/blog/vectors-dot-and-cross-product). Su derivada es el reflejo de la del [arcoseno](/functions/arcsine), y la tercera función trigonométrica inversa que necesitas para integrar es la [arcotangente](/functions/arctangent).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la derivada de arccos x?

La derivada de $\arccos x$ es $-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ para $-1 < x < 1$. Con la regla de la cadena, $\frac{d}{dx}\arccos(u) = -\frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$.

### ¿Cuál es el rango de arccos x?

El rango es $[0, \pi]$. El coseno es inyectivo en ese intervalo y toma cada valor entre $-1$ y $1$ exactamente una vez.

### ¿Por qué el rango del arccos es distinto del rango del arcsin?

El seno es inyectivo en $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$, pero el coseno no lo es allí (es par). El coseno es inyectivo en $[0, \pi]$, así que el arcocoseno usa ese intervalo.

### ¿Cuál es la integral de arccos x?

La integración por partes da $\int\arccos x\,dx = x\arccos x - \sqrt{1-x^2} + C$.