# Arcoseno arcsin(x): gráfica, dominio, rango, derivada e integral

> La función arcoseno arcsin(x), inversa del seno: dominio [−1, 1], rango [−π/2, π/2], gráfica, derivada 1/√(1−x²), integral y ejemplos.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/funciones/arcoseno
Actualizado: 2026-11-03

$$ f(x) = \arcsin x = \sin^{-1} x $$

## De un vistazo

- **Dominio:** $[-1, 1]$
- **Rango:** $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$
- **Derivada:** $\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$
- **Integral:** $x\arcsin x + \sqrt{1 - x^2} + C$
- **Significado:** El ángulo en $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ cuyo seno es $x$
- **Simetría:** Impar: $\arcsin(-x) = -\arcsin x$

## Ideas clave

- $\arcsin x$ es el ángulo en $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ cuyo seno es $x$, definido solo para $-1 \le x \le 1$.
- Su derivada es $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$, así que $\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \arcsin x + C$.
- $\sin^{-1}x$ significa arcoseno, no $\frac{1}{\sin x}$.

La **función arcoseno** deshace la función seno: $\arcsin x$ es el ángulo cuyo seno es $x$. Como el [seno](/functions/sine-function) se repite, no es inyectivo, así que el arcoseno elige la única respuesta en $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$. En cálculo importa sobre todo como antiderivada de $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.

## Definición de arcsin x

$$y = \arcsin x \quad\Longleftrightarrow\quad \sin y = x \text{ y } -\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$$

Así, $\arcsin\frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$, porque $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$ y $\frac{\pi}{6}$ está en el rango permitido. La notación $\sin^{-1}x$ significa lo mismo.

## Gráfica de y = arcsin x

```graph
title: 'Gráfica de y = arcsin x en [−1, 1]'
caption: 'El arcoseno sube desde $-\frac{\pi}{2}$ en $x = -1$ hasta $\frac{\pi}{2}$ en $x = 1$. Las rectas tangentes en ambos extremos son verticales.'
x: [-1.8, 1.8]
y: [-1.9, 1.9]
functions:
  - expr: arcsin(x)
    label: y = arcsin x
    domain: [-1, 1]
points:
  - [-1, -1.5708, '(−1, −π/2)']
  - [0, 0, '(0, 0)']
  - [1, 1.5708, '(1, π/2)']
```

La gráfica es el tramo de $y = \sin x$ en $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ reflejado respecto a la recta $y = x$.

## Valores clave del arcoseno

| $x$ | $-1$ | $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $-\frac{1}{2}$ | $0$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $\arcsin x$ | $-\frac{\pi}{2}$ | $-\frac{\pi}{3}$ | $-\frac{\pi}{6}$ | $0$ | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{\pi}{2}$ |

## Propiedades del arcoseno

- **Dominio $[-1, 1]$, rango $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$.** Los valores fuera de $[-1, 1]$ no están definidos, ya que ningún ángulo tiene seno $2$.
- **Creciente.** El arcoseno es estrictamente creciente en todo su dominio.
- **Impar.** $\arcsin(-x) = -\arcsin x$.
- **Cancelación.** $\sin(\arcsin x) = x$ para todo $x$ en $[-1, 1]$, pero $\arcsin(\sin x) = x$ solo para $x$ en $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$.
- **Relación con el arcocoseno.** $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$. Consulta [arcocoseno](/functions/arccosine).

## Derivada de arcsin x

$$\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \qquad -1 < x < 1$$

**Por qué.** Sea $y = \arcsin x$, de modo que $\sin y = x$. La [derivación implícita](/rules/implicit-differentiation) da $\cos y \cdot y' = 1$, así que $y' = \frac{1}{\cos y}$. Como $y$ está en $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$, $\cos y \ge 0$, y $\cos y = \sqrt{1 - \sin^2 y} = \sqrt{1 - x^2}$. Es un caso particular de la [regla de la función inversa](/rules/inverse-function-rule).

En $x = \pm 1$ el denominador se anula, por eso la gráfica tiene tangentes verticales en sus extremos.

## Integrales con arcoseno

La fórmula de la derivada, leída al revés, es la integral que más usarás:

$$\int \frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}} = \arcsin x + C, \qquad \int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \arcsin\frac{x}{a} + C \ (a > 0)$$

La integral del propio arcoseno se obtiene con [integración por partes](/blog/integration-by-parts) tomando $u = \arcsin x$, $dv = dx$:

$$\int \arcsin x\,dx = x\arcsin x - \int\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = x\arcsin x + \sqrt{1 - x^2} + C$$

## Ejemplos resueltos

**Ejemplo 1: regla de la cadena.** Deriva $f(x) = \arcsin(3x)$:

$$f'(x) = \frac{3}{\sqrt{1 - 9x^2}}$$

**Ejemplo 2: una integral definida.** $\int_0^{1/2}\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \arcsin\frac{1}{2} - \arcsin 0 = \frac{\pi}{6}$.

**Ejemplo 3: usando $a$.** $\int\frac{dx}{\sqrt{9 - x^2}} = \arcsin\frac{x}{3} + C$.

**Ejemplo 4: composición.** Simplifica $\cos(\arcsin x)$. Si $\theta = \arcsin x$, entonces $\sin\theta = x$ y $\cos\theta \ge 0$, así que $\cos(\arcsin x) = \sqrt{1 - x^2}$.

## Errores comunes

1. **Leer $\sin^{-1}x$ como $\frac{1}{\sin x}$.** El recíproco es $\csc x$, que se explica en las [funciones trigonométricas recíprocas](/functions/reciprocal-trig-functions).
2. **Dar un ángulo fuera del rango.** $\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6}$, no $\frac{7\pi}{6}$ ni $\frac{11\pi}{6}$.
3. **Sustituir valores con $|x| > 1$.** $\arcsin 2$ no existe como número real.
4. **Olvidar el factor de la regla de la cadena.** $\frac{d}{dx}\arcsin(x^2) = \frac{2x}{\sqrt{1 - x^4}}$, no $\frac{1}{\sqrt{1-x^4}}$.

## Cómo se relaciona el arcoseno con otros temas

El arcoseno es la base de la sustitución $x = a\sin\theta$ en la [sustitución trigonométrica](/blog/trig-substitution), que se usa en integrales con $\sqrt{a^2 - x^2}$. Sus funciones hermanas son el [arcocoseno](/functions/arccosine) y la [arcotangente](/functions/arctangent), y las tres derivadas se obtienen del mismo modo en la guía de [derivación implícita](/blog/implicit-differentiation).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la derivada de arcsin x?

La derivada de $\arcsin x$ es $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ para $-1 < x < 1$. Con la regla de la cadena, $\frac{d}{dx}\arcsin(u) = \frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$.

### ¿Cuáles son el dominio y el rango de arcsin x?

El dominio es $[-1, 1]$, porque el seno solo produce valores en ese intervalo. El rango es $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$, el intervalo en el que el seno es inyectivo.

### ¿El seno inverso es lo mismo que 1/sen x?

No. $\sin^{-1}x$ es la función inversa arcoseno. El recíproco $\frac{1}{\sin x}$ es la cosecante, $\csc x$.

### ¿Cuál es la integral de arcsin x?

Usando integración por partes con $u = \arcsin x$ y $dv = dx$ se obtiene $\int\arcsin x\,dx = x\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C$.

### ¿Por qué arcsin(sen x) no siempre es igual a x?

El arcoseno siempre devuelve un ángulo entre $-\frac{\pi}{2}$ y $\frac{\pi}{2}$. Por ejemplo, $\arcsin(\sin\pi) = \arcsin 0 = 0$, no $\pi$.