# Arcotangente arctan(x): gráfica, asíntotas, derivada e integral

> La función arcotangente arctan(x), inversa de la tangente: dominio todos los reales, rango (−π/2, π/2), gráfica, derivada 1/(1+x²), integral y ejemplos.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/funciones/arcotangente
Actualizado: 2026-11-03

$$ f(x) = \arctan x = \tan^{-1} x $$

## De un vistazo

- **Dominio:** $(-\infty, \infty)$
- **Rango:** $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$
- **Derivada:** $\frac{1}{1 + x^2}$
- **Integral:** $x\arctan x - \frac{1}{2}\ln(1 + x^2) + C$
- **Asíntotas horizontales:** $y = \pm\frac{\pi}{2}$
- **Simetría:** Impar: $\arctan(-x) = -\arctan x$

## Ideas clave

- $\arctan x$ es el ángulo en $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ cuya tangente es $x$, definido para todo $x$ real.
- Su derivada es $\frac{1}{1+x^2}$, así que $\int\frac{dx}{1+x^2} = \arctan x + C$.
- La gráfica tiene asíntotas horizontales $y = \frac{\pi}{2}$ e $y = -\frac{\pi}{2}$.

La **función arcotangente** deshace la tangente: $\arctan x$ es el ángulo en $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ cuya tangente es $x$. A diferencia del [arcoseno](/functions/arcsine) y el [arcocoseno](/functions/arccosine), acepta cualquier número real, porque la [tangente](/functions/tangent-function) toma todos los valores reales. En cálculo es famosa como la antiderivada de $\frac{1}{1+x^2}$.

## Definición de arctan x

$$y = \arctan x \quad\Longleftrightarrow\quad \tan y = x \text{ y } -\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$$

Como $\tan y$ es la pendiente de una recta con ángulo $y$, puedes pensar en $\arctan m$ como el ángulo que forma una recta de pendiente $m$ con el semieje $x$ positivo. Por ejemplo, $\arctan 1 = \frac{\pi}{4}$: una recta de pendiente $1$ forma un ángulo de 45 grados.

## Gráfica de y = arctan x

```graph
title: 'Gráfica de y = arctan x con asíntotas horizontales y = ±π/2'
caption: 'La arcotangente es creciente en todo punto y se estabiliza hacia $\frac{\pi}{2}$ por la derecha y hacia $-\frac{\pi}{2}$ por la izquierda.'
x: [-8, 8]
y: [-2.2, 2.2]
functions:
  - expr: arctan(x)
    label: y = arctan x
  - expr: '1.5708'
    label: y = π/2
    dashed: true
  - expr: '-1.5708'
    label: y = −π/2
    dashed: true
points:
  - [0, 0, '(0, 0)']
  - [1, 0.7854, '(1, π/4)']
```

## Valores clave de la arcotangente

| $x$ | $-\sqrt{3}$ | $-1$ | $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ | $0$ | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $\arctan x$ | $-\frac{\pi}{3}$ | $-\frac{\pi}{4}$ | $-\frac{\pi}{6}$ | $0$ | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\pi}{3}$ |

## Propiedades de la arcotangente

- **Dominio todos los reales, rango $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$.** Los extremos nunca se alcanzan.
- **Creciente e impar.** $\arctan(-x) = -\arctan x$.
- **Límites en el infinito.** $\lim_{x\to\infty}\arctan x = \frac{\pi}{2}$ y $\lim_{x\to-\infty}\arctan x = -\frac{\pi}{2}$. Consulta [límites en el infinito](/blog/limits-at-infinity).
- **Cancelación.** $\tan(\arctan x) = x$ para todo $x$; $\arctan(\tan x) = x$ solo para $x$ en $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$.
- **Identidad del recíproco.** Para $x > 0$, $\arctan x + \arctan\frac{1}{x} = \frac{\pi}{2}$.

## Derivada de arctan x

$$\frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1 + x^2}$$

**Por qué.** Sea $y = \arctan x$, de modo que $\tan y = x$. La [derivación implícita](/rules/implicit-differentiation) da $\sec^2 y\cdot y' = 1$, así que $y' = \frac{1}{\sec^2 y} = \frac{1}{1 + \tan^2 y} = \frac{1}{1 + x^2}$.

La derivada siempre es positiva y alcanza su máximo en $x = 0$, donde vale $1$. Se acerca a $0$ a medida que $|x|$ crece, lo que coincide con cómo se aplana la gráfica.

## Integrales con arcotangente

$$\int\frac{dx}{1 + x^2} = \arctan x + C, \qquad \int\frac{dx}{a^2 + x^2} = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + C \ (a > 0)$$

Aparecen siempre que hay un polinomio cuadrático irreducible en un denominador, algo habitual en las [fracciones parciales](/blog/partial-fractions).

La integral de la propia arcotangente usa [integración por partes](/blog/integration-by-parts) con $u = \arctan x$, $dv = dx$:

$$\int\arctan x\,dx = x\arctan x - \int\frac{x}{1+x^2}\,dx = x\arctan x - \frac{1}{2}\ln(1 + x^2) + C$$

No hace falta valor absoluto porque $1 + x^2 > 0$.

## Ejemplos resueltos

**Ejemplo 1: regla de la cadena.** Deriva $f(x) = \arctan(2x)$:

$$f'(x) = \frac{2}{1 + 4x^2}$$

**Ejemplo 2: una integral impropia.**

$$\int_0^\infty\frac{dx}{1 + x^2} = \lim_{b\to\infty}\left(\arctan b - \arctan 0\right) = \frac{\pi}{2}$$

Es una [integral impropia](/blog/improper-integrals) convergente clásica.

**Ejemplo 3: completar el cuadrado.** Calcula $\int\frac{dx}{x^2 + 2x + 5}$. Escribe $x^2 + 2x + 5 = (x+1)^2 + 4$ y usa $a = 2$:

$$\int\frac{dx}{(x+1)^2 + 4} = \frac{1}{2}\arctan\frac{x+1}{2} + C$$

**Ejemplo 4: una integral definida.** $\int_0^1\frac{dx}{1+x^2} = \arctan 1 - \arctan 0 = \frac{\pi}{4}$.

## Errores comunes

1. **Escribir la derivada como $\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$.** La arcotangente no lleva raíz cuadrada. La raíz corresponde al arcoseno y al arcocoseno (con $1 - x^2$).
2. **Olvidar el $\frac{1}{a}$.** $\int\frac{dx}{9 + x^2} = \frac{1}{3}\arctan\frac{x}{3} + C$, no $\arctan\frac{x}{3} + C$.
3. **Leer $\tan^{-1}x$ como $\cot x$.** $\frac{1}{\tan x}$ es la cotangente, otra función distinta (consulta las [funciones trigonométricas recíprocas](/functions/reciprocal-trig-functions)).
4. **Responder fuera del rango.** $\arctan(-1) = -\frac{\pi}{4}$, no $\frac{3\pi}{4}$.

## Cómo se relaciona la arcotangente con otros temas

La sustitución $x = a\tan\theta$ de la [sustitución trigonométrica](/blog/trig-substitution) produce resultados con arcotangente. Su [serie de potencias](/blog/power-series), $\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots$ para $|x| \le 1$, se obtiene integrando la [serie geométrica](/blog/geometric-series) de $\frac{1}{1+x^2}$, y en $x = 1$ da la famosa $\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \cdots$.

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la derivada de arctan x?

La derivada de $\arctan x$ es $\frac{1}{1+x^2}$. Con la regla de la cadena, $\frac{d}{dx}\arctan(u) = \frac{u'}{1+u^2}$.

### ¿Cuál es la integral de 1/(1+x^2)?

Es $\arctan x + C$. En general, $\int\frac{dx}{a^2+x^2} = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + C$ para $a > 0$.

### ¿Cuál es el límite de arctan x cuando x tiende a infinito?

$\lim_{x\to\infty}\arctan x = \frac{\pi}{2}$ y $\lim_{x\to-\infty}\arctan x = -\frac{\pi}{2}$. Estas son las asíntotas horizontales de la gráfica.

### ¿Cuál es la integral de arctan x?

La integración por partes con $u = \arctan x$ y $dv = dx$ da $\int\arctan x\,dx = x\arctan x - \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C$.