# Función constante f(x) = c: gráfica, derivada, integral y propiedades > La función constante f(x) = c: su gráfica como recta horizontal, por qué su derivada es 0, su integral cx + C, límites y errores comunes con constantes. Fuente: https://practicecalculus.com/es/funciones/funcion-constante Actualizado: 2026-11-03 $$ f(x) = c $$ ## De un vistazo - **Dominio:** $(-\infty, \infty)$ - **Rango:** El único valor $\{c\}$ - **Derivada:** $0$ - **Integral:** $cx + C$ - **Gráfica:** Una recta horizontal que pasa por $(0, c)$ - **Pendiente:** $0$ en todo punto ## Ideas clave - Una función constante $f(x) = c$ da la misma salida para cualquier entrada, así que su gráfica es una recta horizontal. - La derivada de cualquier constante es $0$, porque una recta horizontal tiene pendiente cero. - La integral de una constante es $\int c\,dx = cx + C$, el área de un rectángulo de altura $c$. - La $c$ minúscula de la función y la $C$ mayúscula de una antiderivada son constantes distintas. Una **función constante** devuelve el mismo número sin importar qué valor le des. Se escribe $f(x) = c$, donde $c$ es un número real fijo, y es la función más sencilla del cálculo y el punto de partida de todas las reglas de derivación e integración. ## Definición y fórmula $$f(x) = c$$ Aquí $c$ puede ser cualquier número real: $f(x) = 3$, $g(x) = -\tfrac{1}{2}$, $h(x) = \pi$. La entrada $x$ no aparece en el lado derecho, así que cambiar $x$ nunca cambia la salida. Algunos ejemplos que verás en la práctica son una tarifa fija, la aceleración de un objeto a velocidad constante (cero) o el valor $f(a)$ una vez fijado $a$. ## Gráfica de una función constante La gráfica de $y = c$ es una **recta horizontal** que corta al eje $y$ en $(0, c)$. Todos sus puntos tienen la misma altura. ```graph title: 'Gráfica de las funciones constantes y = 3 e y = -2' caption: 'Cada función constante es una recta horizontal. Su pendiente, y por tanto su derivada, es $0$ en todo punto.' x: [-5, 5] y: [-4, 5] functions: - expr: '3' label: y = 3 - expr: '-2' label: y = -2 points: - [0, 3, '(0, 3)'] - [0, -2, '(0, -2)'] ``` ## Derivada de una constante La derivada de una constante es cero: $$\frac{d}{dx}\, c = 0$$ A partir de la [definición de derivada como límite](/blog/limit-definition-of-the-derivative): $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{c - c}{h} = \lim_{h \to 0} 0 = 0$$ Geométricamente, una recta horizontal tiene pendiente $0$, así que cada recta tangente es la propia recta. Este hecho es la [regla de la constante](/rules/constant-rule) y explica por qué el término independiente de un polinomio desaparece al derivar. ## Integral de una constante Yendo hacia atrás, una función cuya derivada es $c$ es $cx$, así que $$\int c\,dx = cx + C$$ Para una integral definida, el área bajo $y = c$ desde $a$ hasta $b$ es un rectángulo de altura $c$ y base $b - a$: $$\int_a^b c\,dx = c(b - a)$$ Si $c$ es negativa, el rectángulo queda por debajo del eje y el área con signo es negativa. ## Propiedades clave - **Continua y derivable en todo punto.** No tiene saltos, huecos ni picos. - **Los límites son inmediatos.** $\lim_{x \to a} c = c$ para todo $a$, y también $\lim_{x \to \pm\infty} c = c$. - **Función par.** $f(-x) = f(x)$, así que la gráfica es simétrica respecto al eje $y$. - **Ni creciente ni decreciente.** Es a la vez no creciente y no decreciente. - **Cada punto es un máximo y un mínimo.** Como la salida nunca cambia, cada $x$ da a la vez el valor más grande y el más pequeño. - **Polinomio de grado cero.** Una constante distinta de cero es $cx^0$, el primer escalón de las [funciones polinómicas](/functions/polynomial-functions). ## Ejemplos resueltos **Ejemplo 1.** Deriva $f(x) = 7$. La derivada es $f'(x) = 0$. **Ejemplo 2.** Deriva $g(x) = 4x^2 + 9$. Por la regla de la suma, $g'(x) = 8x + 0 = 8x$. El $9$ no aporta nada. **Ejemplo 3.** Deriva $y = \pi^2$. Aunque parezca complicado, $\pi^2 \approx 9.87$ es solo un número, así que $y' = 0$. **Ejemplo 4.** Calcula $\int_1^4 5\,dx$. La antiderivada es $5x$, así que el valor es $5(4) - 5(1) = 15$, el área de un rectángulo de $5 \times 3$. ## Errores comunes 1. **Tratar como variables las constantes que parecen expresiones.** $e^2$, $\ln 3$ y $\sin\frac{\pi}{6}$ son números, así que sus derivadas son $0$. Es frecuente escribir por error $\frac{d}{dx}e^2 = e^2$. 2. **Olvidar la $x$ al integrar.** $\int 5\,dx = 5x + C$, no $5 + C$. 3. **Confundir $c$ y $C$.** La constante de integración $C$ es nueva y arbitraria. No es el mismo número que la $c$ de $f(x) = c$. 4. **Eliminar un factor constante.** La derivada de un *término* constante es $0$, pero un *factor* constante se mantiene: $\frac{d}{dx}(5x) = 5$, no $0$. Consulta la [regla del múltiplo constante](/rules/constant-multiple-rule). ## Cómo se relaciona Una función constante es una [función lineal](/functions/linear-function) con pendiente $0$ y el caso particular $n = 0$ de las [funciones potencia](/functions/power-functions). En las aplicaciones, una derivada igual a cero en un intervalo indica que la función original es constante allí, una consecuencia del [teorema del valor medio](/theorems/mean-value-theorem). Por eso también toda antiderivada lleva un $+\,C$: dos funciones con la misma derivada difieren en una constante. Para saber más, lee la guía de [antiderivadas](/blog/antiderivatives). ## Preguntas frecuentes ### ¿Cuál es la derivada de una constante? La derivada de cualquier constante es $0$. Una constante nunca cambia, así que su tasa de cambio es cero, y la gráfica de $y = c$ es una recta horizontal con pendiente $0$. ### ¿Cuál es la integral de una constante? La integral de una constante $c$ es $\int c\,dx = cx + C$. Por ejemplo, $\int 5\,dx = 5x + C$, porque la derivada de $5x$ es $5$. ### ¿Una función constante es continua? Sí. Una función constante es continua y derivable en todo número real. Su límite en cualquier punto $a$ es simplemente $c$. ### ¿Una función constante es un polinomio? Sí. Una constante distinta de cero es un polinomio de grado $0$, ya que $c = cx^0$. La función cero $f(x) = 0$ también es un polinomio, aunque normalmente su grado se deja sin definir. ### ¿Una función constante es par o impar? Toda función constante es par, porque $f(-x) = c = f(x)$. Solo la función cero es par e impar a la vez.