# Función coseno cos(x): gráfica, derivada, integral y propiedades

> La función coseno cos(x): su gráfica, dominio, rango, periodo, valores clave, derivada −sen(x), integral sen(x) + C y errores comunes.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/funciones/funcion-coseno
Actualizado: 2026-11-03

$$ f(x) = \cos x $$

## De un vistazo

- **Dominio:** $(-\infty, \infty)$
- **Rango:** $[-1, 1]$
- **Derivada:** $-\sin x$
- **Integral:** $\sin x + C$
- **Periodo:** $2\pi$
- **Simetría:** Par: $\cos(-x) = \cos x$

## Ideas clave

- $\cos x$ es la coordenada $x$ del punto de ángulo $x$ (en radianes) en la circunferencia unitaria.
- El coseno es par, se repite cada $2\pi$ y se mantiene entre $-1$ y $1$.
- La derivada de $\cos x$ es $-\sin x$, y $\int \cos x\,dx = \sin x + C$.

La **función coseno** toma un ángulo $x$, medido en radianes, y devuelve la coordenada $x$ del punto de ese ángulo en la circunferencia unitaria. Su gráfica es la misma onda que la del [seno](/functions/sine-function), desplazada un cuarto de periodo hacia la izquierda, así que empieza en su máximo en lugar de en cero.

## Definición de cos x

Recorre una distancia $x$ en sentido antihorario sobre la circunferencia unitaria a partir de $(1, 0)$. El punto al que llegas es $(\cos x, \sin x)$, así que

$$\cos x = \text{the } x\text{-coordinate of the point at angle } x.$$

Para un ángulo agudo de un triángulo rectángulo, es el cociente $\cos\theta = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}$, es decir, cateto adyacente entre hipotenusa.

## Gráfica de y = cos x

```graph
title: 'Gráfica de y = cos x de −2π a 2π'
caption: 'El coseno empieza en su máximo $\cos 0 = 1$, se anula en los múltiplos impares de $\frac{\pi}{2}$ y llega a $-1$ en $x = \pm\pi$.'
x: [-6.6, 6.6]
y: [-1.6, 1.6]
functions:
  - expr: cos(x)
    label: y = cos x
points:
  - [0, 1, '(0, 1)']
  - [1.5708, 0, '(π/2, 0)']
  - [3.1416, -1, '(π, −1)']
  - [4.7124, 0, '(3π/2, 0)']
```

## Valores clave del coseno

| $x$ | $0$ | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\pi$ | $\frac{3\pi}{2}$ | $2\pi$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $\cos x$ | $1$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $0$ | $-1$ | $0$ | $1$ |

Observa que en $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ la fila es la del seno leída al revés, porque $\cos x = \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$.

## Propiedades de la función coseno

- **Dominio y rango.** Acepta todos los números reales y devuelve valores en $[-1, 1]$.
- **Periodo.** $\cos(x + 2\pi) = \cos x$, y $A\cos(bx)$ tiene amplitud $|A|$ y periodo $\frac{2\pi}{|b|}$.
- **Ceros.** $\cos x = 0$ exactamente cuando $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ con $k$ entero. Son los puntos donde la [tangente](/functions/tangent-function) y la secante tienen asíntotas verticales.
- **Simetría par.** $\cos(-x) = \cos x$.
- **Identidades.** $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, y la fórmula del ángulo doble $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x = 2\cos^2 x - 1 = 1 - 2\sin^2 x$.

## Derivada de cos x

$$\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x$$

El signo menos tiene sentido en la gráfica: justo después de $x = 0$ el coseno está bajando, y $-\sin x$ es negativo allí. En $x = \pi$ el coseno toca fondo, y $-\sin\pi = 0$. La segunda derivada es $-\cos x$, así que el coseno, igual que el seno, cumple $y'' = -y$.

Con la [regla de la cadena](/rules/chain-rule), $\frac{d}{dx}\cos(u) = -\sin(u)\cdot u'$.

## Integral de cos x

$$\int \cos x\,dx = \sin x + C$$

Por ejemplo, $\int_0^{\pi/2}\cos x\,dx = \sin\frac{\pi}{2} - \sin 0 = 1$.

## Ejemplos resueltos

**Ejemplo 1: regla de la cadena.** Deriva $f(x) = \cos(4x - 1)$. La derivada interior es $4$, así que $f'(x) = -4\sin(4x - 1)$.

**Ejemplo 2: potencia del coseno.** Deriva $g(x) = \cos^3 x = (\cos x)^3$. La potencia exterior da $3\cos^2 x$ y el interior da $-\sin x$:

$$g'(x) = -3\cos^2 x\sin x$$

**Ejemplo 3: sustitución (cambio de variable).** Calcula $\int x\cos(x^2)\,dx$. Sea $u = x^2$, de modo que $du = 2x\,dx$:

$$\int x\cos(x^2)\,dx = \frac{1}{2}\int \cos u\,du = \frac{1}{2}\sin(x^2) + C$$

**Ejemplo 4: una recta tangente.** En $x = \frac{\pi}{2}$, $\cos x = 0$ y la pendiente es $-\sin\frac{\pi}{2} = -1$. La recta tangente es $y = -\left(x - \frac{\pi}{2}\right)$.

## Errores comunes

1. **Olvidar el signo menos.** $\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x$, no $\sin x$. Un truco para recordarlo: las derivadas de las funciones "co" (coseno, cotangente, cosecante) llevan todas un signo menos.
2. **Añadir un signo menos a la integral.** $\int\cos x\,dx = \sin x + C$, sin signo menos.
3. **Leer mal $\cos^2 x$.** $\cos^2 x$ significa $(\cos x)^2$, no $\cos(\cos x)$ ni $\cos(x^2)$.
4. **Olvidar la derivada interior.** $\frac{d}{dx}\cos(2x) = -2\sin(2x)$, no $-\sin(2x)$.

## Cómo se relaciona el coseno con otros temas

El coseno es el denominador de la [tangente](/functions/tangent-function) y el recíproco de la secante (consulta las [funciones trigonométricas recíprocas](/functions/reciprocal-trig-functions)). Restringido a $[0, \pi]$, tiene como inversa el [arcocoseno](/functions/arccosine). En Cálculo 2 integrarás potencias del coseno con la identidad $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ y conocerás su [serie de Taylor](/blog/taylor-series) $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$. Para practicar más su derivada, consulta la guía de [derivadas de funciones trigonométricas](/blog/derivatives-of-trig-functions).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la derivada de cos x?

La derivada de $\cos x$ es $-\sin x$. Con la regla de la cadena, $\frac{d}{dx}\cos(u) = -\sin(u)\,u'$.

### ¿Cuál es la integral de cos x?

La antiderivada de $\cos x$ es $\sin x + C$, porque la derivada de $\sin x$ es $\cos x$.

### ¿El coseno es par o impar?

El coseno es par: $\cos(-x) = \cos x$. Su gráfica es simétrica respecto al eje $y$.

### ¿Qué diferencia hay entre las gráficas del seno y del coseno?

Son la misma onda desplazada un cuarto de periodo: $\cos x = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$. El coseno empieza en su máximo, $\cos 0 = 1$, mientras que el seno empieza en cero.