# Función cuadrática: gráfica, vértice, derivada e integral

> La función cuadrática f(x) = ax² + bx + c: gráfica de la parábola, fórmula del vértice, raíces, derivada 2ax + b, integral y ejemplos resueltos.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/funciones/funcion-cuadratica
Actualizado: 2026-11-03

$$ f(x) = ax^2 + bx + c, \quad a \ne 0 $$

## De un vistazo

- **Dominio:** $(-\infty, \infty)$
- **Rango:** $\left[f\left(-\frac{b}{2a}\right), \infty\right)$ si $a > 0$
- **Derivada:** $2ax + b$
- **Integral:** $\frac{a}{3}x^3 + \frac{b}{2}x^2 + cx + C$
- **Vértice:** $x = -\frac{b}{2a}$
- **Raíces:** $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

## Ideas clave

- La gráfica de $f(x) = ax^2 + bx + c$ es una parábola que abre hacia arriba si $a > 0$ y hacia abajo si $a < 0$.
- La derivada $f'(x) = 2ax + b$ se anula en el vértice $x = -\frac{b}{2a}$.
- La segunda derivada es la constante $2a$, así que una cuadrática es cóncava hacia arriba en todo punto o cóncava hacia abajo en todo punto.
- Su integral es una cúbica: $\frac{a}{3}x^3 + \frac{b}{2}x^2 + cx + C$.

Una **función cuadrática** es un polinomio de grado dos. Su gráfica es una **parábola**, una curva simétrica en forma de U con un único punto de giro llamado vértice. Las cuadráticas modelan la altura de un proyectil, áreas y beneficios, y son las primeras curvas en las que las derivadas revelan algo que no se ve en una recta.

## Fórmula y formas

$$f(x) = ax^2 + bx + c, \qquad a \ne 0$$

| Forma | Ecuación | Muestra |
| --- | --- | --- |
| General | $ax^2 + bx + c$ | corte con el eje $y$ en $c$ |
| Canónica (de vértice) | $a(x - h)^2 + k$ | vértice $(h, k)$ |
| Factorizada | $a(x - r_1)(x - r_2)$ | raíces $r_1, r_2$ |

## Gráfica de una función cuadrática

```graph
title: 'Gráfica de la parábola y = x² - 2x - 3 y de su derivada y = 2x - 2'
caption: 'El vértice está en $(1, -4)$, justo donde la derivada vale cero. Las raíces son $x = -1$ y $x = 3$.'
x: [-3, 5]
y: [-6, 8]
functions:
  - expr: x^2 - 2x - 3
    label: y = x² - 2x - 3
  - expr: 2x - 2
    label: y = 2x - 2 (derivada)
    dashed: true
points:
  - [1, -4, 'vértice (1, -4)']
  - [-1, 0, '(-1, 0)']
  - [3, 0, '(3, 0)']
```

Características clave:

- **Orientación.** Abre hacia arriba si $a > 0$ (el vértice es un mínimo) y hacia abajo si $a < 0$ (el vértice es un máximo).
- **Eje de simetría.** La recta vertical $x = -\frac{b}{2a}$.
- **Raíces.** Se obtienen con la fórmula general $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$. El discriminante $b^2 - 4ac$ indica si hay dos, una o ninguna raíz real.
- **Rango.** $\left[k, \infty\right)$ si $a > 0$ y $\left(-\infty, k\right]$ si $a < 0$, donde $k$ es la altura del vértice.

## Derivada de una función cuadrática

Por la [regla de la potencia](/rules/power-rule) y la [regla de la suma](/rules/sum-and-difference-rule):

$$f'(x) = 2ax + b, \qquad f''(x) = 2a$$

La derivada de una cuadrática es una [función lineal](/functions/linear-function). Se anula en exactamente un punto, $x = -\frac{b}{2a}$, que es el vértice. La segunda derivada es la constante $2a$, así que la parábola es cóncava hacia arriba en todo punto cuando $a > 0$ y cóncava hacia abajo en todo punto cuando $a < 0$. Por eso el vértice es siempre el extremo absoluto.

## Integral de una función cuadrática

$$\int (ax^2 + bx + c)\,dx = \frac{a}{3}x^3 + \frac{b}{2}x^2 + cx + C$$

La $c$ minúscula es el término independiente de la cuadrática; la $C$ mayúscula es la constante de integración.

## Ejemplos resueltos

**Ejemplo 1: vértice con cálculo.** Para $f(x) = x^2 - 2x - 3$, $f'(x) = 2x - 2 = 0$ da $x = 1$, y $f(1) = -4$. El vértice es $(1, -4)$, un mínimo porque $a = 1 > 0$.

**Ejemplo 2: altura máxima.** La altura de una pelota es $h(t) = -5t^2 + 20t + 1$ metros. Entonces $h'(t) = -10t + 20 = 0$ en $t = 2$, y la altura máxima es $h(2) = -20 + 40 + 1 = 21$ metros.

**Ejemplo 3: área bajo una parábola.** Evalúa $\int_0^3 (x^2 + 1)\,dx$:

$$\left[\tfrac{x^3}{3} + x\right]_0^3 = (9 + 3) - 0 = 12$$

**Ejemplo 4: recta tangente.** Para $f(x) = x^2 - 2x - 3$ en $x = 3$: $f(3) = 0$ y $f'(3) = 4$, así que la recta tangente es $y = 4(x - 3) = 4x - 12$.

## Errores comunes

1. **Olvidar el signo menos en $-\frac{b}{2a}$.** Para $x^2 - 2x - 3$, $b = -2$, así que el vértice está en $x = -\frac{-2}{2} = 1$.
2. **Derivar $ax^2$ como $ax$.** El exponente baja: $\frac{d}{dx}3x^2 = 6x$.
3. **Integrar $x^2$ como $\frac{x^3}{2}$.** Divide entre el nuevo exponente, $3$.
4. **Desarrollar $(x - 2)^2$ como $x^2 + 4$.** El desarrollo correcto es $x^2 - 4x + 4$.

## Cómo se relaciona

Las cuadráticas son las [funciones polinómicas](/functions/polynomial-functions) más sencillas con curvatura, por eso son los primeros ejemplos clásicos en [problemas de optimización](/blog/optimization-problems), [trazado de curvas](/blog/curve-sketching-with-derivatives) y [área entre curvas](/blog/area-between-curves). El polinomio de Taylor de segundo grado de cualquier función suave es una cuadrática, y por eso las parábolas aproximan tantas curvas cerca de un punto.

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la derivada de una función cuadrática?

La derivada de $ax^2 + bx + c$ es $2ax + b$, que se obtiene con la regla de la potencia término a término. Por ejemplo, la derivada de $3x^2 - 5x + 2$ es $6x - 5$.

### ¿Cómo se encuentra el vértice de una parábola con cálculo?

Iguala la derivada a cero: $2ax + b = 0$ da $x = -\frac{b}{2a}$. Sustituye ese $x$ en $f$ para obtener la coordenada $y$ del vértice.

### ¿Cómo se integra una función cuadrática?

Usa la regla de la potencia inversa en cada término: $\int (ax^2 + bx + c)\,dx = \frac{a}{3}x^3 + \frac{b}{2}x^2 + cx + C$.

### ¿Cómo se sabe si una parábola abre hacia arriba o hacia abajo?

Mira el signo de $a$, el coeficiente de $x^2$. Si $a > 0$ abre hacia arriba y el vértice es un mínimo; si $a < 0$ abre hacia abajo y el vértice es un máximo.