# Función exponencial natural eˣ: gráfica, derivada, integral y e

> La función exponencial natural e^x: qué es el número e, su gráfica, por qué es su propia derivada e integral, límites clave, serie y ejemplos resueltos.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/funciones/funcion-exponencial-natural
Actualizado: 2026-11-03

$$ f(x) = e^x $$

## De un vistazo

- **Dominio:** $(-\infty, \infty)$
- **Rango:** $(0, \infty)$
- **Derivada:** $e^x$
- **Integral:** $e^x + C$
- **Valor de e:** $e \approx 2.71828$
- **Inversa:** $\ln x$
- **Asíntota:** $y = 0$ cuando $x \to -\infty$

## Ideas clave

- La función exponencial natural $e^x$ usa la base $e \approx 2.71828$.
- Es la única función (salvo un múltiplo constante) que es igual a su propia derivada: $\frac{d}{dx}e^x = e^x$.
- Su integral es $e^x + C$, y con la regla de la cadena $\frac{d}{dx}e^{g(x)} = e^{g(x)}g'(x)$.
- $e^x$ siempre es positiva, siempre es creciente y es la inversa de $\ln x$.

La **función exponencial natural** $f(x) = e^x$ es la función exponencial cuya base es el número de Euler $e \approx 2.71828$. Es la función más importante del cálculo, porque es su propia derivada: la velocidad a la que crece $e^x$ siempre es igual a su valor actual.

## Fórmula y el número e

$$f(x) = e^x, \qquad e = \lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \approx 2.71828$$

Toda [función exponencial](/functions/exponential-functions) $b^x$ tiene en $x = 0$ una pendiente proporcional a su altura. La base $e$ es la única elección que hace que la pendiente en $x = 0$ sea exactamente $1$, y por eso las derivadas de $e^x$ salen tan limpias.

## Gráfica de eˣ

```graph
title: 'Gráfica de la función exponencial natural y = eˣ'
caption: 'La curva pasa por $(0, 1)$ con pendiente $1$. La recta tangente discontinua $y = x + 1$ muestra esa pendiente; la curva queda por encima de ella en todo punto.'
x: [-4, 2.5]
y: [-1, 8]
functions:
  - expr: e^x
    label: y = eˣ
  - expr: x + 1
    label: tangente y = x + 1
    dashed: true
points:
  - [0, 1, '(0, 1)']
  - [1, 2.718, '(1, e)']
```

## Propiedades clave

- **Dominio**: todos los reales; **rango**: $(0, \infty)$. $e^x$ siempre es positiva.
- **Siempre creciente** y **siempre cóncava hacia arriba**, ya que $f'(x) = f''(x) = e^x > 0$.
- **Asíntota horizontal** $y = 0$: $\lim_{x \to -\infty}e^x = 0$, mientras que $\lim_{x \to \infty}e^x = \infty$.
- **Inversa del logaritmo natural:** $e^{\ln x} = x$ para $x > 0$ y $\ln(e^x) = x$ para todo $x$. Consulta el [logaritmo natural](/functions/natural-logarithm).
- **Leyes de los exponentes:** $e^{a+b} = e^ae^b$, $e^{a-b} = \frac{e^a}{e^b}$, $(e^a)^b = e^{ab}$, $e^0 = 1$.
- **Crece más rápido que cualquier potencia:** $\lim_{x \to \infty}\frac{x^n}{e^x} = 0$ para todo $n$.
- **Serie de potencias:** $e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$, válida para todo $x$.

## Derivada de eˣ

$$\frac{d}{dx}e^x = e^x$$

Con la [regla de la cadena](/rules/chain-rule):

$$\frac{d}{dx}e^{g(x)} = e^{g(x)}\,g'(x)$$

El exponente nunca baja delante. Eso es la [regla de la potencia](/rules/power-rule), que aquí no se aplica.

## Integral de eˣ

$$\int e^x\,dx = e^x + C, \qquad \int e^{kx}\,dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C \quad (k \ne 0)$$

## Ejemplos resueltos

**Ejemplo 1.** $\frac{d}{dx}e^{3x} = 3e^{3x}$.

**Ejemplo 2: regla de la cadena.** $\frac{d}{dx}e^{x^2} = 2x\,e^{x^2}$.

**Ejemplo 3: regla del producto.** $\frac{d}{dx}\left(x e^x\right) = e^x + xe^x = (1 + x)e^x$.

**Ejemplo 4: integral definida.** $\int_0^{\ln 2}e^x\,dx = e^{\ln 2} - e^0 = 2 - 1 = 1$.

**Ejemplo 5: sustitución (cambio de variable).** Con $u = x^2$, $\int 2x\,e^{x^2}\,dx = e^{x^2} + C$.

**Ejemplo 6: crecimiento exponencial.** La solución de $y' = ky$ con $y(0) = y_0$ es $y = y_0e^{kt}$. Por eso $e$ aparece en el crecimiento de poblaciones, la desintegración radiactiva y el interés compuesto continuo.

## Errores comunes

1. **Usar la regla de la potencia.** $\frac{d}{dx}e^x \ne xe^{x-1}$.
2. **Olvidar el factor de la regla de la cadena.** $\frac{d}{dx}e^{5x} = 5e^{5x}$, no $e^{5x}$.
3. **Integrar $e^{kx}$ sin dividir entre $k$.** $\int e^{4x}\,dx = \frac{1}{4}e^{4x} + C$.
4. **Tratar $e^2$ como una variable.** $e^2$ es una constante, así que su derivada es $0$.
5. **Escribir $e^{a+b} = e^a + e^b$.** Los exponentes se suman cuando multiplicas: $e^{a+b} = e^ae^b$.

## Cómo se relaciona

$e^x$ es la inversa de $\ln x$ y la pieza básica de las [funciones hiperbólicas](/functions/hyperbolic-functions). Cualquier exponencial se puede reescribir con base $e$: $b^x = e^{x\ln b}$. Para un recorrido completo con más práctica, lee la guía de [derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas](/blog/derivatives-of-exponential-and-logarithmic-functions), y consulta la [serie de Taylor](/blog/taylor-series) para su desarrollo en serie.

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la derivada de e^x?

La derivada de $e^x$ es $e^x$. En cada punto la pendiente de la gráfica es igual a su altura, que es la propiedad que define a la base $e$.

### ¿Cuál es la integral de e^x?

$\int e^x\,dx = e^x + C$. En general, $\int e^{kx}\,dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C$ para cualquier constante $k \ne 0$.

### ¿Qué es el número e?

El número $e \approx 2.71828$ es el límite $\lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$. De forma equivalente, es la única base para la que la exponencial $b^x$ tiene pendiente exactamente $1$ en $x = 0$.

### ¿Cuál es la derivada de e^(2x)?

Por la regla de la cadena, $\frac{d}{dx}e^{2x} = e^{2x} \cdot 2 = 2e^{2x}$. Se multiplica por la derivada del exponente.

### ¿Puede e^x ser cero o negativa?

No. $e^x > 0$ para todo $x$ real. Se acerca a $0$ cuando $x \to -\infty$ pero nunca lo alcanza, así que $y = 0$ es una asíntota horizontal.