# Función lineal f(x) = mx + b: gráfica, pendiente, derivada e integral

> La función lineal f(x) = mx + b: pendiente y ordenada al origen, su gráfica recta, por qué su derivada es la pendiente m, su integral y ejemplos resueltos.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/funciones/funcion-lineal
Actualizado: 2026-11-03

$$ f(x) = mx + b $$

## De un vistazo

- **Dominio:** $(-\infty, \infty)$
- **Rango:** $(-\infty, \infty)$ si $m \ne 0$
- **Derivada:** $m$
- **Integral:** $\frac{m}{2}x^2 + bx + C$
- **Pendiente:** $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
- **Ordenada al origen:** $(0, b)$

## Ideas clave

- Una función lineal $f(x) = mx + b$ tiene como gráfica una recta con pendiente $m$ y ordenada al origen $b$ (el corte con el eje $y$).
- Su derivada es la constante $m$: una recta tiene la misma tasa de cambio en todo punto.
- Su integral es $\frac{m}{2}x^2 + bx + C$, una función cuadrática.
- Las rectas tangentes y las aproximaciones lineales son funciones lineales construidas a partir de una derivada.

Una **función lineal** tiene una tasa de cambio constante, así que su gráfica es una recta. Se escribe $f(x) = mx + b$, donde el número $m$ es la pendiente (cuánto sube $f$ por cada unidad de $x$) y $b$ es la ordenada al origen, es decir, el corte con el eje $y$ (la salida en $x = 0$).

## Fórmula y formas

$$f(x) = mx + b$$

La misma recta se puede escribir de otras maneras, según lo que conozcas:

| Forma | Ecuación | Úsala cuando conoces |
| --- | --- | --- |
| Pendiente-ordenada al origen | $y = mx + b$ | la pendiente y el corte con el eje $y$ |
| Punto-pendiente | $y - y_1 = m(x - x_1)$ | la pendiente y un punto |
| General | $Ax + By = C$ | una ecuación que hay que reordenar |

La forma punto-pendiente es la que más se usa en cálculo, porque una recta tangente se construye a partir de un punto $(a, f(a))$ y una pendiente $f'(a)$.

## Gráfica de una función lineal

```graph
title: 'Gráfica de las funciones lineales y = 2x + 1 e y = -0.5x + 3'
caption: 'Una pendiente positiva sube de izquierda a derecha y una negativa baja. Cada recta corta al eje $y$ en su ordenada al origen $b$.'
x: [-4, 4]
y: [-5, 7]
functions:
  - expr: 2x + 1
    label: y = 2x + 1
  - expr: -0.5x + 3
    label: y = -0.5x + 3
points:
  - [0, 1, '(0, 1)']
  - [0, 3, '(0, 3)']
```

- $m > 0$: creciente. $m < 0$: decreciente. $m = 0$: una recta horizontal, la [función constante](/functions/constant-function).
- Cuanto mayor es $|m|$, más inclinada es la recta.
- El corte con el eje $x$ está donde $mx + b = 0$, es decir, $x = -\frac{b}{m}$ cuando $m \ne 0$.

## Derivada de una función lineal

$$\frac{d}{dx}(mx + b) = m$$

La derivada de $mx$ es $m$ por la [regla de la potencia](/rules/power-rule) y la [regla del múltiplo constante](/rules/constant-multiple-rule), y la derivada de $b$ es $0$. Esto coincide con la geometría: la recta tangente a una recta es la propia recta, y su pendiente nunca cambia. La segunda derivada es $0$, así que una recta no tiene concavidad.

## Integral de una función lineal

$$\int (mx + b)\,dx = \frac{m}{2}x^2 + bx + C$$

Integrar una recta da una [función cuadrática](/functions/quadratic-function). Para una integral definida en $[a, b]$, la región bajo una recta es un trapecio (o dos triángulos si cruza el eje), así que puedes comprobar cualquier respuesta con geometría.

## Ejemplos resueltos

**Ejemplo 1: pendiente a partir de dos puntos.** Encuentra la recta que pasa por $(1, 3)$ y $(4, 9)$.

$$m = \frac{9 - 3}{4 - 1} = 2, \qquad y - 3 = 2(x - 1) \;\Rightarrow\; y = 2x + 1$$

**Ejemplo 2: derivada.** Si $f(x) = -4x + 7$, entonces $f'(x) = -4$ para todo $x$.

**Ejemplo 3: integral definida.** Calcula $\int_0^2 (3x + 1)\,dx$.

$$\left[\tfrac{3}{2}x^2 + x\right]_0^2 = (6 + 2) - 0 = 8$$

Comprobación: la región es un trapecio con lados paralelos $f(0) = 1$ y $f(2) = 7$ y ancho $2$, así que su área es $\frac{1 + 7}{2} \cdot 2 = 8$.

**Ejemplo 4: una recta tangente.** La recta tangente a $y = x^2$ en $x = 3$ tiene pendiente $2(3) = 6$ y pasa por $(3, 9)$, así que es la función lineal $y = 6x - 9$.

## Errores comunes

1. **Cambiar el orden en la fórmula de la pendiente.** Pon el mismo punto primero arriba y abajo: $\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$, no $\frac{y_2 - y_1}{x_1 - x_2}$.
2. **Llamar lineal a $f(x) = x^2 + 1$.** Lineal significa que la variable solo aparece elevada a la primera potencia.
3. **Integrar $mx$ como $mx^2$.** La regla de la potencia inversa divide entre el nuevo exponente: $\int mx\,dx = \frac{m}{2}x^2 + C$.
4. **Confundir "función lineal" con "ecuación lineal con dos incógnitas".** Una recta vertical $x = 2$ es una ecuación lineal, pero no una función.

## Cómo se relaciona

Las rectas son la razón de ser de las derivadas: la derivada en un punto es la pendiente de la recta que mejor se ajusta allí. Esa idea impulsa las [rectas tangentes](/blog/limit-definition-of-the-derivative), la [aproximación lineal](/blog/linear-approximation) y el método de Newton. Las rectas son [funciones polinómicas](/functions/polynomial-functions) de grado uno, y al integrarlas se obtienen funciones cuadráticas.

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la derivada de una función lineal?

La derivada de $f(x) = mx + b$ es $f'(x) = m$, la pendiente de la recta. Una recta sube lo mismo por cada unidad que avanza $x$, así que su tasa de cambio es constante.

### ¿Cuál es la integral de mx + b?

La integral es $\int (mx + b)\,dx = \frac{m}{2}x^2 + bx + C$. Puedes comprobarlo derivando: la derivada de $\frac{m}{2}x^2 + bx$ es $mx + b$.

### ¿Cómo se calcula la pendiente de una función lineal a partir de dos puntos?

Usa $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$. Para los puntos $(1, 3)$ y $(4, 9)$ la pendiente es $\frac{9 - 3}{4 - 1} = 2$.

### ¿Una recta horizontal es una función lineal?

Sí. Una recta horizontal $y = b$ es una función lineal con pendiente $m = 0$, que además es una función constante. Una recta vertical $x = a$ ni siquiera es una función.