# Función raíz cuadrada √x: gráfica, dominio, derivada e integral

> La función raíz cuadrada f(x) = √x: su dominio y su gráfica, la derivada 1/(2√x), la integral (2/3)x^(3/2) + C y la tangente vertical en 0.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/funciones/funcion-raiz-cuadrada
Actualizado: 2026-11-03

$$ f(x) = \sqrt{x} = x^{1/2} $$

## De un vistazo

- **Dominio:** $[0, \infty)$
- **Rango:** $[0, \infty)$
- **Derivada:** $\frac{1}{2\sqrt{x}}$
- **Integral:** $\frac{2}{3}x^{3/2} + C$
- **No derivable en:** $x = 0$ (tangente vertical)
- **Inversa:** $x^2$ para $x \ge 0$

## Ideas clave

- La función raíz cuadrada $\sqrt{x} = x^{1/2}$ solo está definida para $x \ge 0$ y devuelve la raíz no negativa.
- Su derivada es $\frac{1}{2\sqrt{x}}$, que se dispara en $x = 0$, así que la gráfica tiene ahí una tangente vertical.
- Su integral es $\frac{2}{3}x^{3/2} + C$, por la regla de la potencia inversa.
- Reescribe las raíces como potencias fraccionarias antes de derivar o integrar.

La **función raíz cuadrada** $f(x) = \sqrt{x}$ devuelve el número no negativo cuyo cuadrado es $x$. Es la inversa de $x^2$ en $x \ge 0$, la función potencia con exponente $\frac{1}{2}$, y el ejemplo clásico de una función que es continua en un punto pero no derivable en él.

## Fórmula

$$f(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}, \qquad x \ge 0$$

Por convención, $\sqrt{x}$ significa la raíz **principal** (no negativa), así que $\sqrt{9} = 3$, no $\pm 3$. En consecuencia, $\sqrt{x^2} = |x|$ para todo $x$ real.

## Gráfica de la función raíz cuadrada

```graph
title: 'Gráfica de y = √x y de su derivada y = 1/(2√x)'
caption: 'La raíz cuadrada sube rápido cerca de $0$ y luego se aplana. Su derivada es enorme cerca de $0$ y se reduce hacia $0$ a medida que $x$ crece.'
x: [-0.5, 9]
y: [-0.5, 4]
functions:
  - expr: sqrt(x)
    label: y = √x
  - expr: 1/(2sqrt(x))
    label: y = 1/(2√x) (derivada)
    dashed: true
points:
  - [0, 0, '(0, 0)']
  - [4, 2, '(4, 2)']
```

## Propiedades clave

- **Dominio y rango:** ambos son $[0, \infty)$.
- **Creciente** en todo su dominio, ya que su derivada es positiva para $x > 0$.
- **Cóncava hacia abajo:** $f''(x) = -\frac{1}{4}x^{-3/2} < 0$ para $x > 0$, así que crece cada vez más despacio.
- **Continua en $0$** por la derecha, con $\lim_{x \to 0^+}\sqrt{x} = 0$.
- **No derivable en $0$**, donde la tangente es vertical.
- **No acotada pero lenta:** $\sqrt{x} \to \infty$ cuando $x \to \infty$, más despacio que cualquier potencia positiva $x^p$ con $p > \frac{1}{2}$.
- **Reflejo de una parábola:** la gráfica es la mitad derecha de $y = x^2$ reflejada respecto de la recta $y = x$.

## Derivada de √x

Usando la [regla de la potencia](/rules/power-rule) con $x^{1/2}$:

$$\frac{d}{dx}\sqrt{x} = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}, \qquad x > 0$$

Con la [regla de la cadena](/rules/chain-rule) se obtiene el patrón general

$$\frac{d}{dx}\sqrt{g(x)} = \frac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}$$

## Integral de √x

$$\int \sqrt{x}\,dx = \frac{2}{3}x^{3/2} + C$$

Suma uno al exponente ($\frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$) y divide entre $\frac{3}{2}$, que es lo mismo que multiplicar por $\frac{2}{3}$.

## Ejemplos resueltos

**Ejemplo 1: recta tangente.** En $x = 4$, $f(4) = 2$ y $f'(4) = \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}$. La recta tangente es $y = 2 + \frac{1}{4}(x - 4) = \frac{1}{4}x + 1$.

**Ejemplo 2: aproximación lineal.** Usando esa recta tangente, $\sqrt{4.2} \approx \frac{1}{4}(4.2) + 1 = 2.05$. El valor real es aproximadamente $2.0494$. Consulta la [aproximación lineal](/blog/linear-approximation).

**Ejemplo 3: regla de la cadena.** $\frac{d}{dx}\sqrt{3x + 1} = \frac{3}{2\sqrt{3x + 1}}$.

**Ejemplo 4: integral definida.** $\int_0^4 \sqrt{x}\,dx = \left[\frac{2}{3}x^{3/2}\right]_0^4 = \frac{2}{3}(8) = \frac{16}{3}$.

**Ejemplo 5: dominio.** $\sqrt{4 - x^2}$ requiere $4 - x^2 \ge 0$, así que el dominio es $[-2, 2]$. Su gráfica es la mitad superior de la circunferencia $x^2 + y^2 = 4$.

## Errores comunes

1. **Separar una raíz sobre una suma.** $\sqrt{x^2 + 9} \ne x + 3$. Las raíces se separan sobre productos, $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$ para $a, b \ge 0$, pero nunca sobre sumas.
2. **Escribir la derivada como $\frac{1}{\sqrt{x}}$ o $2\sqrt{x}$.** El factor es $\frac{1}{2}$ y la raíz se queda en el denominador.
3. **Integrar y obtener $\frac{3}{2}x^{3/2}$.** Divide entre $\frac{3}{2}$; no multipliques.
4. **Suponer que $\sqrt{x^2} = x$.** Es igual a $|x|$, lo que importa cuando $x$ puede ser negativo.

## Cómo se relaciona

Las raíces cuadradas aparecen en la longitud de arco, en las fórmulas de distancia y en integrales de [sustitución trigonométrica](/blog/trig-substitution) como $\int \sqrt{1 - x^2}\,dx$. Forman parte de las [funciones potencia](/functions/power-functions), y $\sqrt{x^2} = |x|$ las conecta con la [función valor absoluto](/functions/absolute-value-function).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la derivada de la raíz cuadrada de x?

Escribe $\sqrt{x} = x^{1/2}$ y aplica la regla de la potencia: $\frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$. Está definida para $x > 0$.

### ¿Cuál es la integral de la raíz cuadrada de x?

$\int \sqrt{x}\,dx = \int x^{1/2}\,dx = \frac{x^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3}x^{3/2} + C$.

### ¿La función raíz cuadrada es derivable en 0?

No. La derivada $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ crece sin límite cuando $x \to 0^+$, así que la gráfica tiene una tangente vertical en el origen y no tiene ahí una pendiente finita.

### ¿Cuál es el dominio de la función raíz cuadrada?

El dominio es $x \ge 0$, porque un número negativo no tiene raíz cuadrada real. Para $\sqrt{g(x)}$, resuelve $g(x) \ge 0$.

### ¿Cómo se deriva la raíz cuadrada de una función?

Usa la regla de la cadena: $\frac{d}{dx}\sqrt{g(x)} = \frac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}$. Por ejemplo, $\frac{d}{dx}\sqrt{x^2 + 1} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$.