# Función recíproca f(x) = 1/x: gráfica, derivada, integral y límites

> La función recíproca 1/x: su gráfica (una hipérbola) y sus asíntotas, la derivada -1/x², por qué su integral es ln|x| + C y sus límites laterales.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/funciones/funcion-reciproca
Actualizado: 2026-11-03

$$ f(x) = \frac{1}{x} $$

## De un vistazo

- **Dominio:** $x \ne 0$
- **Rango:** $y \ne 0$
- **Derivada:** $-\frac{1}{x^2}$
- **Integral:** $\ln|x| + C$
- **Asíntotas:** $x = 0$ y $y = 0$
- **Simetría:** Impar: $f(-x) = -f(x)$

## Ideas clave

- La función recíproca $f(x) = \frac{1}{x}$ está definida para todo $x$ excepto $0$ y su gráfica es una hipérbola.
- Su derivada es $-\frac{1}{x^2}$, negativa en todo su dominio, así que decrece en cada tramo de su dominio.
- Su integral es $\ln|x| + C$, el único caso que la regla de la potencia inversa no puede resolver.
- Los límites laterales en $0$ son $+\infty$ y $-\infty$, así que $\lim_{x \to 0}\frac{1}{x}$ no existe.

La **función recíproca** $f(x) = \frac{1}{x}$ envía cada número a uno dividido entre él mismo. Es la [función racional](/functions/rational-functions) más sencilla, la función potencia con exponente $-1$, y el ejemplo clásico de límites infinitos, asíntotas y la derivada del logaritmo natural.

## Fórmula

$$f(x) = \frac{1}{x} = x^{-1}, \qquad x \ne 0$$

## Gráfica de 1/x

La gráfica es una **hipérbola** con dos ramas, una en el primer cuadrante y otra en el tercero.

```graph
title: 'Gráfica de la función recíproca y = 1/x'
caption: 'La gráfica se acerca a la asíntota vertical $x = 0$ y a la asíntota horizontal $y = 0$ sin tocar ninguna de las dos.'
x: [-5, 5]
y: [-5, 5]
functions:
  - expr: 1/x
    label: y = 1/x
points:
  - [1, 1, '(1, 1)']
  - [-1, -1, '(-1, -1)']
vertical:
  - {x: 0, label: 'x = 0'}
```

## Propiedades clave

- **Dominio y rango.** Todos los reales excepto $0$, en ambos casos.
- **Función impar.** $\frac{1}{-x} = -\frac{1}{x}$, así que la gráfica es simétrica respecto del origen.
- **Asíntotas.** Asíntota vertical $x = 0$, asíntota horizontal $y = 0$.
- **Es su propia inversa.** Al despejar $x$ en $y = \frac{1}{x}$ se obtiene $x = \frac{1}{y}$, así que $f^{-1} = f$ y la gráfica es simétrica respecto de $y = x$.
- **Solo es discontinua en $0$,** que no pertenece al dominio. Es continua en su dominio.

## Límites de 1/x

$$\lim_{x \to 0^+}\frac{1}{x} = +\infty, \qquad \lim_{x \to 0^-}\frac{1}{x} = -\infty, \qquad \lim_{x \to \pm\infty}\frac{1}{x} = 0$$

Como los límites laterales en $0$ no coinciden, $\lim_{x \to 0}\frac{1}{x}$ no existe. El límite en el infinito es la pieza básica para calcular los [límites al infinito](/blog/limits-at-infinity) de cualquier función racional.

## Derivada de 1/x

$$\frac{d}{dx}\,\frac{1}{x} = -\frac{1}{x^2}$$

Se obtiene con la [regla de la potencia](/rules/power-rule) con $n = -1$. La derivada es negativa en todo punto donde está definida, así que la función decrece en cada rama, y las rectas tangentes se vuelven más empinadas cerca de $0$ y más planas lejos de él. La segunda derivada es $\frac{2}{x^3}$: cóncava hacia arriba para $x > 0$ y cóncava hacia abajo para $x < 0$.

## Integral de 1/x

$$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$$

La regla de la potencia inversa daría $\frac{x^0}{0}$, que no está definido, así que $\frac{1}{x}$ es la única potencia cuya integral es un [logaritmo natural](/functions/natural-logarithm). El valor absoluto cubre los $x$ negativos: para $x < 0$, $\frac{d}{dx}\ln(-x) = \frac{-1}{-x} = \frac{1}{x}$.

Una integral definida no puede atravesar $x = 0$: $\int_{-1}^{1}\frac{1}{x}\,dx$ es una [integral impropia](/blog/improper-integrals) que diverge.

## Ejemplos resueltos

**Ejemplo 1: recta tangente.** En $x = 2$, $f(2) = \frac{1}{2}$ y $f'(2) = -\frac{1}{4}$, así que la recta tangente es $y = \frac{1}{2} - \frac{1}{4}(x - 2) = -\frac{1}{4}x + 1$.

**Ejemplo 2: integral definida.** $\int_1^e \frac{1}{x}\,dx = \ln e - \ln 1 = 1$.

**Ejemplo 3: una recíproca desplazada.** $\frac{d}{dx}\frac{3}{x - 1} = -\frac{3}{(x - 1)^2}$ y $\int \frac{3}{x - 1}\,dx = 3\ln|x - 1| + C$.

## Errores comunes

1. **Escribir $\int \frac{1}{x}\,dx = \frac{x^0}{0}$** o $\ln x$ sin el valor absoluto.
2. **Equivocarse con el signo de la derivada.** $\frac{d}{dx}\frac{1}{x}$ es $-\frac{1}{x^2}$, no $\frac{1}{x^2}$.
3. **Confundir $\frac{1}{x}$ con $x^{-1}$ como función inversa.** $\frac{1}{f(x)}$ es un recíproco, mientras que $f^{-1}(x)$ suele significar una inversa. Para $\frac{1}{x}$ coinciden, lo cual es poco habitual.
4. **Integrar a través de la asíntota** como si la función fuera continua ahí.

## Cómo se relaciona

El área bajo $\frac{1}{t}$ desde $1$ hasta $x$ es exactamente $\ln x$, que es una forma de definir el logaritmo natural. La página de [funciones potencia](/functions/power-functions) trata la familia $x^n$ a la que pertenece $\frac{1}{x}$, y la serie armónica $\sum \frac{1}{n}$ es su prima discreta.

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la derivada de 1/x?

Escribe $\frac{1}{x} = x^{-1}$ y usa la regla de la potencia: $\frac{d}{dx}x^{-1} = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$.

### ¿Cuál es la integral de 1/x?

La integral es $\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$. La regla de la potencia inversa falla aquí porque dividiría entre $n + 1 = 0$. El valor absoluto hace que la fórmula también valga para $x$ negativo.

### ¿Cuál es el límite de 1/x cuando x tiende a 0?

El límite no existe. Por la derecha $\frac{1}{x} \to +\infty$ y por la izquierda $\frac{1}{x} \to -\infty$, así que los dos límites laterales no coinciden.

### ¿1/x es decreciente?

Decrece en $(-\infty, 0)$ y en $(0, \infty)$ por separado, ya que su derivada es negativa. No es decreciente en todo su dominio, porque $\frac{1}{-1} = -1 < 1 = \frac{1}{1}$.