# Función seno sin(x): gráfica, derivada, integral y propiedades > La función seno sin(x): su gráfica, dominio, rango, periodo, valores clave, la derivada cos(x), su integral y los errores que cometen los estudiantes. Fuente: https://practicecalculus.com/es/funciones/funcion-seno Actualizado: 2026-11-03 $$ f(x) = \sin x $$ ## De un vistazo - **Dominio:** $(-\infty, \infty)$ - **Rango:** $[-1, 1]$ - **Derivada:** $\cos x$ - **Integral:** $-\cos x + C$ - **Periodo:** $2\pi$ - **Simetría:** Impar: $\sin(-x) = -\sin x$ ## Ideas clave - $\sin x$ es la coordenada $y$ del punto de ángulo $x$ (en radianes) en la circunferencia unitaria. - Se repite cada $2\pi$, se mantiene entre $-1$ y $1$, y es una función impar. - La derivada de $\sin x$ es $\cos x$, y $\int \sin x\,dx = -\cos x + C$. - Las fórmulas de cálculo del seno solo son válidas cuando $x$ se mide en radianes. La **función seno** toma un ángulo $x$, medido en radianes, y devuelve la coordenada $y$ del punto con ese ángulo en la circunferencia unitaria. Produce la onda suave y repetitiva que hay detrás del sonido, la luz, las mareas y todo lo que oscila, y es uno de los dos pilares (junto con el [coseno](/functions/cosine-function)) de todas las demás funciones trigonométricas. ## Definición de sen x Empieza en el punto $(1, 0)$ de la circunferencia unitaria y recorre una distancia $x$ en sentido antihorario (en sentido horario si $x$ es negativo). Llegas al punto $(\cos x, \sin x)$. Así que $$\sin x = \text{the } y\text{-coordinate of the point at angle } x.$$ Es decir, el seno es la altura (la ordenada) del punto que corresponde a ese ángulo. En un triángulo rectángulo esto coincide con la conocida razón $\sin\theta = \frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}$ (cateto opuesto entre hipotenusa), pero la versión de la circunferencia unitaria funciona para cualquier número real, incluidos los ángulos negativos y los mayores que $2\pi$. ## Gráfica de y = sen x ```graph title: 'Gráfica de y = sen x de −2π a 2π' caption: 'La onda senoidal se anula en cada múltiplo de $\pi$, alcanza su máximo en $1$ y su mínimo en $-1$. Se repite cada $2\pi$.' x: [-6.6, 6.6] y: [-1.6, 1.6] functions: - expr: sin(x) label: y = sen x points: - [0, 0, '(0, 0)'] - [1.5708, 1, '(π/2, 1)'] - [3.1416, 0, '(π, 0)'] - [4.7124, -1, '(3π/2, −1)'] ``` La gráfica pasa por el origen, sube hasta su máximo en $x = \frac{\pi}{2}$, vuelve a cero en $x = \pi$, alcanza su mínimo en $x = \frac{3\pi}{2}$ y completa un ciclo entero en $x = 2\pi$. ## Valores clave del seno | $x$ | $0$ | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\pi$ | $\frac{3\pi}{2}$ | $2\pi$ | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | $\sin x$ | $0$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ | $0$ | $-1$ | $0$ | ## Propiedades de la función seno - **Dominio y rango.** Se admite cualquier número real, y el resultado siempre está en $[-1, 1]$. - **Periodo.** $\sin(x + 2\pi) = \sin x$. En general, $A\sin(bx)$ tiene amplitud $|A|$ y periodo $\frac{2\pi}{|b|}$. - **Ceros.** $\sin x = 0$ exactamente cuando $x = k\pi$ con $k$ entero. - **Simetría impar.** $\sin(-x) = -\sin x$, así que la gráfica es simétrica respecto del origen. - **Identidad pitagórica.** $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ para todo $x$. - **Relación de desplazamiento.** $\sin x = \cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right)$: la onda del seno es una onda del coseno desplazada $\frac{\pi}{2}$ hacia la derecha. ## Derivada de sen x $$\frac{d}{dx}\sin x = \cos x$$ Puedes leerlo en la gráfica: el seno es más empinado (pendiente $1$) en $x = 0$, donde $\cos 0 = 1$, y es plano en su máximo $x = \frac{\pi}{2}$, donde $\cos\frac{\pi}{2} = 0$. La demostración usa el límite $\lim_{h \to 0}\frac{\sin h}{h} = 1$, y esa es la razón por la que se necesitan radianes. Al derivar otra vez se obtiene $\frac{d^2}{dx^2}\sin x = -\sin x$, y las derivadas recorren el ciclo $\sin, \cos, -\sin, -\cos$ cada cuatro pasos. Con la [regla de la cadena](/rules/chain-rule), $\frac{d}{dx}\sin(u) = \cos(u)\cdot u'$. ## Integral de sen x $$\int \sin x\,dx = -\cos x + C$$ Compruébalo derivando: $\frac{d}{dx}(-\cos x) = -(-\sin x) = \sin x$. Bajo un arco el área es $\int_0^{\pi}\sin x\,dx = -\cos\pi + \cos 0 = 2$, y en un periodo completo el área con signo es $\int_0^{2\pi}\sin x\,dx = 0$. ## Ejemplos resueltos **Ejemplo 1: regla de la cadena.** Deriva $f(x) = \sin(x^2)$. La función interior es $x^2$, con derivada $2x$, así que $f'(x) = 2x\cos(x^2)$. **Ejemplo 2: regla del producto.** Deriva $g(x) = x\sin x$. Por la [regla del producto](/rules/product-rule), $g'(x) = \sin x + x\cos x$. **Ejemplo 3: sustitución.** Evalúa $\int \sin(5x)\,dx$. Sea $u = 5x$, de modo que $du = 5\,dx$: $$\int \sin(5x)\,dx = \frac{1}{5}\int \sin u\,du = -\frac{1}{5}\cos(5x) + C$$ **Ejemplo 4: un límite famoso.** $\lim_{x \to 0}\frac{\sin(3x)}{x} = 3\lim_{x\to 0}\frac{\sin(3x)}{3x} = 3 \cdot 1 = 3$. ## Errores comunes 1. **Signo equivocado en la integral.** $\int\sin x\,dx$ es $-\cos x + C$, no $\cos x + C$. La derivada no lleva signo menos; la integral sí. 2. **Usar grados.** $\frac{d}{dx}\sin x = \cos x$ es falso si $x$ está en grados. Pon tu calculadora en radianes. 3. **Tratar $\sin$ como una multiplicación.** $\sin(2x) \ne 2\sin x$ y $\sin(a + b) \ne \sin a + \sin b$. 4. **Confundir $\sin^{-1}x$ con $\frac{1}{\sin x}$.** $\sin^{-1}x$ es la función inversa [arcoseno](/functions/arcsine), mientras que $\frac{1}{\sin x}$ es la [cosecante](/functions/reciprocal-trig-functions). ## Cómo se relaciona el seno con otros temas El seno y el coseno definen el resto de la familia: la [tangente](/functions/tangent-function) es $\frac{\sin x}{\cos x}$, y la secante, la cosecante y la cotangente son recíprocas. Su inversa en $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ es el [arcoseno](/functions/arcsine). En Cálculo 2, el seno aparece en la [sustitución trigonométrica](/blog/trig-substitution) y tiene la [serie de Taylor](/blog/taylor-series) $\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$. Para saber más sobre cómo derivar todas las funciones trigonométricas, lee la guía de [derivadas de las funciones trigonométricas](/blog/derivatives-of-trig-functions). ## Preguntas frecuentes ### ¿Cuál es la derivada de sen x? La derivada de $\sin x$ es $\cos x$. Con la regla de la cadena, $\frac{d}{dx}\sin(u) = \cos(u)\,u'$, así que, por ejemplo, $\frac{d}{dx}\sin(3x) = 3\cos(3x)$. ### ¿Cuál es la integral de sen x? La antiderivada de $\sin x$ es $-\cos x + C$. El signo menos aparece porque la derivada de $\cos x$ es $-\sin x$. ### ¿Cuál es el periodo de sen x? El periodo es $2\pi$, así que $\sin(x + 2\pi) = \sin x$ para todo $x$. La función $\sin(bx)$ tiene periodo $\frac{2\pi}{|b|}$. ### ¿Por qué x debe estar en radianes para hacer cálculo con el seno? El límite clave $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$ solo es cierto en radianes. En grados, la derivada del seno llevaría un factor extra de $\frac{\pi}{180}$. ### ¿El seno es una función par o impar? El seno es impar: $\sin(-x) = -\sin x$. Su gráfica es simétrica respecto del origen.