# Función tangente tan(x): gráfica, asíntotas, derivada e integral

> La función tangente tan(x) = sen(x)/cos(x): su gráfica, asíntotas verticales, periodo π, derivada sec²(x), integral ln|sec x| + C y ejemplos.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/funciones/funcion-tangente
Actualizado: 2026-11-03

$$ f(x) = \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $$

## De un vistazo

- **Dominio:** $x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi$
- **Rango:** $(-\infty, \infty)$
- **Derivada:** $\sec^2 x$
- **Integral:** $\ln\lvert\sec x\rvert + C$
- **Periodo:** $\pi$
- **Asíntotas:** $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, con $k$ entero

## Ideas clave

- $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$, la pendiente de la recta que va del origen al punto de ángulo $x$ en la circunferencia unitaria.
- Tiene periodo $\pi$ y asíntotas verticales donde $\cos x = 0$.
- La derivada es $\sec^2 x$ y la integral es $\ln|\sec x| + C = -\ln|\cos x| + C$.

La **función tangente** es el cociente $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$. Geométricamente, es la pendiente de la recta que va del origen al punto de ángulo $x$ en la circunferencia unitaria. A diferencia del [seno](/functions/sine-function) y del [coseno](/functions/cosine-function), no está acotada y tiene una asíntota vertical cada vez que el coseno vale cero.

## Definición de tan x

$$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}, \qquad \cos x \ne 0$$

En un triángulo rectángulo es $\frac{\text{opposite}}{\text{adjacent}}$ (cateto opuesto entre cateto adyacente). Como la recta que pasa por el origen con ángulo $x$ tiene pendiente $\tan x$, la tangente es la forma de convertir un ángulo en una pendiente, y la [arcotangente](/functions/arctangent) convierte una pendiente de nuevo en un ángulo.

## Gráfica de y = tan x

```graph
title: 'Gráfica de y = tan x con asíntotas verticales en x = ±π/2'
caption: 'Cada rama sube de $-\infty$ a $\infty$ entre dos asíntotas consecutivas. El patrón se repite cada $\pi$.'
x: [-4.6, 4.6]
y: [-5, 5]
functions:
  - expr: tan(x)
    label: y = tan x
points:
  - [0, 0, '(0, 0)']
  - [0.7854, 1, '(π/4, 1)']
  - [-0.7854, -1, '(−π/4, −1)']
vertical:
  - {x: 1.5708, label: 'x = π/2'}
  - {x: -1.5708, label: 'x = −π/2'}
```

## Valores clave de la tangente

| $x$ | $-\frac{\pi}{3}$ | $-\frac{\pi}{4}$ | $0$ | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{\pi}{2}$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $\tan x$ | $-\sqrt{3}$ | $-1$ | $0$ | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ | no definida |

## Propiedades de la función tangente

- **Dominio.** Todos los números reales excepto $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$.
- **Rango.** Todos los números reales.
- **Periodo.** $\tan(x + \pi) = \tan x$, así que el periodo es $\pi$, no $2\pi$.
- **Ceros.** $\tan x = 0$ en $x = k\pi$, los mismos ceros que el seno.
- **Simetría impar.** $\tan(-x) = -\tan x$.
- **Siempre creciente.** En cada rama la pendiente $\sec^2 x$ es al menos $1$, así que la gráfica nunca se aplana.
- **Límites laterales.** $\lim_{x \to \pi/2^-}\tan x = \infty$ y $\lim_{x \to \pi/2^+}\tan x = -\infty$. Consulta [límites al infinito](/blog/limits-at-infinity) para saber más sobre asíntotas.
- **Identidad.** $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$, que se obtiene al dividir $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ entre $\cos^2 x$.

## Derivada de tan x

Aplica la [regla del cociente](/rules/quotient-rule) a $\frac{\sin x}{\cos x}$:

$$\frac{d}{dx}\tan x = \frac{\cos x\cdot\cos x - \sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$$

En $x = 0$ la pendiente es $\sec^2 0 = 1$, lo que coincide con que la gráfica cruce el origen con un ángulo de 45 grados.

## Integral de tan x

Escribe $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ y toma $u = \cos x$, de modo que $du = -\sin x\,dx$:

$$\int \tan x\,dx = -\int \frac{du}{u} = -\ln|\cos x| + C = \ln|\sec x| + C$$

Las dos formas son iguales porque $-\ln|\cos x| = \ln\frac{1}{|\cos x|}$.

## Ejemplos resueltos

**Ejemplo 1: regla de la cadena.** $\frac{d}{dx}\tan(3x) = 3\sec^2(3x)$.

**Ejemplo 2: una potencia de la tangente.** $\frac{d}{dx}\tan^2 x = 2\tan x\sec^2 x$.

**Ejemplo 3: una integral con la identidad.** Como $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$,

$$\int \tan^2 x\,dx = \int(\sec^2 x - 1)\,dx = \tan x - x + C$$

**Ejemplo 4: una integral definida.** $\int_0^{\pi/4}\sec^2 x\,dx = \tan\frac{\pi}{4} - \tan 0 = 1$.

## Errores comunes

1. **Creer que el periodo es $2\pi$.** La tangente se repite cada $\pi$, porque $\sin$ y $\cos$ cambian ambos de signo tras media vuelta y los signos se cancelan.
2. **Escribir $\int\tan x\,dx = \sec^2 x$.** Es al revés: $\sec^2 x$ es la derivada. La integral necesita un logaritmo.
3. **Quitar el valor absoluto.** $\ln|\cos x|$ necesita las barras porque $\cos x$ es negativo en partes del dominio.
4. **Ignorar las asíntotas.** No puedes integrar $\tan x$ a través de $x = \frac{\pi}{2}$ con el Teorema Fundamental; eso sería una [integral impropia](/blog/improper-integrals), y diverge.

## Cómo se relaciona la tangente con otros temas

La tangente va de la mano de la secante en derivadas e integrales, así que vale la pena estudiar junto con ella sus hermanas, las [funciones trigonométricas recíprocas](/functions/reciprocal-trig-functions). Su inversa, la [arcotangente](/functions/arctangent), es la antiderivada de $\frac{1}{1+x^2}$, y la sustitución $x = \tan\theta$ es una herramienta fundamental de la [sustitución trigonométrica](/blog/trig-substitution). Para tener las seis derivadas trigonométricas en un solo lugar, lee [derivadas de las funciones trigonométricas](/blog/derivatives-of-trig-functions).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la derivada de tan x?

La derivada de $\tan x$ es $\sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$. Se obtiene aplicando la regla del cociente a $\frac{\sin x}{\cos x}$.

### ¿Cuál es la integral de tan x?

La integral es $\int \tan x\,dx = -\ln|\cos x| + C$, que es lo mismo que $\ln|\sec x| + C$. Escribe $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ y sustituye $u = \cos x$.

### ¿Cuál es el periodo de tan x?

El periodo de $\tan x$ es $\pi$, la mitad del periodo del seno y del coseno. La función $\tan(bx)$ tiene periodo $\frac{\pi}{|b|}$.

### ¿Dónde tiene asíntotas verticales tan x?

En cada $x$ donde $\cos x = 0$, es decir, en $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ para cualquier entero $k$.