# Función valor absoluto |x|: gráfica, derivada, integral y pico

> La función valor absoluto |x|: su gráfica en forma de V, por qué es continua pero no derivable en 0, su derivada x/|x| y su integral.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/funciones/funcion-valor-absoluto
Actualizado: 2026-11-03

$$ f(x) = |x| = \begin{cases} x & x \ge 0 \\ -x & x < 0 \end{cases} $$

## De un vistazo

- **Dominio:** $(-\infty, \infty)$
- **Rango:** $[0, \infty)$
- **Derivada:** $\frac{x}{|x|}$
- **Integral:** $\frac{x|x|}{2} + C$
- **No derivable en:** $x = 0$ (un pico)
- **Simetría:** Par: $|-x| = |x|$

## Ideas clave

- El valor absoluto $|x|$ es la distancia de $x$ a $0$, por lo que nunca es negativo y su gráfica tiene forma de V.
- Es continua en todo punto, pero no es derivable en $x = 0$, donde la gráfica forma un pico.
- Para $x \ne 0$ su derivada es $\frac{x}{|x|}$, que vale $1$ si $x > 0$ y $-1$ si $x < 0$.
- Para integrar $|x|$ en un intervalo que contiene al $0$, divide la integral en $0$.

La **función valor absoluto** $f(x) = |x|$ da la distancia de $x$ a $0$ en la recta numérica, por lo que elimina cualquier signo negativo: $|3| = 3$ y $|-3| = 3$. Su gráfica en forma de V es el ejemplo clásico de una función continua en todo punto que tiene un punto donde la derivada no existe.

## Fórmula

$$|x| = \begin{cases} x & x \ge 0 \\ -x & x < 0 \end{cases}$$

Es una [función definida por partes](/functions/piecewise-functions) formada por dos [funciones lineales](/functions/linear-function). De forma equivalente, $|x| = \sqrt{x^2}$, lo que la relaciona con la [función raíz cuadrada](/functions/square-root-function).

## Gráfica de |x|

```graph
title: 'Gráfica de la función valor absoluto y = |x|'
caption: 'La gráfica es una V con su vértice en el origen. La pendiente es $-1$ a la izquierda y $1$ a la derecha, así que hay un pico en $x = 0$.'
x: [-4, 4]
y: [-1, 4]
functions:
  - expr: abs(x)
    label: y = |x|
points:
  - [0, 0, 'pico (0, 0)']
```

La forma general $y = a|x - h| + k$ es una V con vértice $(h, k)$, que abre hacia arriba si $a > 0$ y hacia abajo si $a < 0$, con pendientes laterales $\pm a$.

## Propiedades clave

- **Dominio**: todos los reales; **rango**: $[0, \infty)$.
- **Función par:** $|-x| = |x|$, simétrica respecto al eje $y$.
- **Continua en todo punto**, incluido el $0$.
- **Mínimo absoluto** de $0$ en $x = 0$, que es un punto crítico porque $f'(0)$ no existe.
- **Desigualdad triangular:** $|a + b| \le |a| + |b|$.
- **Los productos se separan, las sumas no:** $|ab| = |a||b|$, pero $|a + b|$ en general no es $|a| + |b|$.

## Derivada de |x|

Para $x \ne 0$:

$$\frac{d}{dx}|x| = \frac{x}{|x|} = \begin{cases} 1 & x > 0 \\ -1 & x < 0 \end{cases}$$

En $x = 0$ los límites laterales del cociente incremental son

$$\lim_{h \to 0^+}\frac{|h|}{h} = 1, \qquad \lim_{h \to 0^-}\frac{|h|}{h} = -1$$

No coinciden, así que $f'(0)$ no existe. Es el caso de libro de [cuándo falla la derivada](/blog/limit-definition-of-the-derivative): un pico. Con la [regla de la cadena](/rules/chain-rule), $\frac{d}{dx}|g(x)| = \frac{g(x)}{|g(x)|}g'(x)$ siempre que $g(x) \ne 0$.

## Integral de |x|

$$\int |x|\,dx = \frac{x|x|}{2} + C$$

Compruébalo por tramos: para $x > 0$ es $\frac{x^2}{2}$, con derivada $x = |x|$; para $x < 0$ es $-\frac{x^2}{2}$, con derivada $-x = |x|$. Para una integral definida, divide en el punto donde el interior cambia de signo.

## Ejemplos resueltos

**Ejemplo 1: integral definida.** Calcula $\int_{-1}^{2}|x|\,dx$ dividiendo en $0$:

$$\int_{-1}^{0}(-x)\,dx + \int_{0}^{2}x\,dx = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}$$

Geométricamente, son dos triángulos de áreas $\frac{1}{2}$ y $2$.

**Ejemplo 2: un valor absoluto desplazado.** $g(x) = |x - 3|$ tiene derivada $1$ para $x > 3$ y $-1$ para $x < 3$, y no es derivable en $x = 3$.

**Ejemplo 3: regla de la cadena.** Para $x \ne 2$, $\frac{d}{dx}|2x - 4| = \frac{2x - 4}{|2x - 4|} \cdot 2$, que vale $2$ para $x > 2$ y $-2$ para $x < 2$.

**Ejemplo 4: un límite.** $\lim_{x \to 0}\frac{|x|}{x}$ no existe, porque vale $1$ por la derecha y $-1$ por la izquierda.

## Errores comunes

1. **Decir que $|x|$ no es continua en $0$.** Es continua; solo deja de ser derivable allí.
2. **Escribir $|{-x}| = -|x|$.** El valor absoluto nunca es negativo: $|-x| = |x|$.
3. **Integrar a través del $0$ sin dividir.** $\int_{-1}^{2}|x|\,dx$ no es $\frac{2^2}{2} - \frac{(-1)^2}{2}$.
4. **Olvidar que es un punto crítico.** Al buscar extremos, incluye los puntos donde la derivada no existe, como el vértice de una V.

## Cómo se relaciona

Los valores absolutos aparecen en $\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$, en la definición épsilon-delta de límite y en la convergencia absoluta de series dentro de los [criterios de convergencia](/blog/convergence-tests). Para saber más sobre picos y otros puntos donde falla la derivada, consulta la guía de [continuidad](/blog/continuity).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la derivada de |x|?

Para $x \ne 0$, $\frac{d}{dx}|x| = \frac{x}{|x|}$, que vale $1$ cuando $x > 0$ y $-1$ cuando $x < 0$. En $x = 0$ la derivada no existe.

### ¿Por qué |x| no es derivable en 0?

La pendiente por la derecha es $1$ y la pendiente por la izquierda es $-1$. Como los límites laterales del cociente incremental no coinciden, la derivada en $0$ no existe, y la gráfica muestra un pico.

### ¿La función valor absoluto es continua?

Sí. $|x|$ es continua en todo número real, incluido el $0$, donde ambos límites laterales valen $0 = |0|$. Esto demuestra que la continuidad no implica la derivabilidad.

### ¿Cuál es la integral de |x|?

Una antiderivada es $\frac{x|x|}{2}$, así que $\int |x|\,dx = \frac{x|x|}{2} + C$. Para integrales definidas suele ser más fácil dividir en $0$, por ejemplo $\int_{-1}^{2}|x|\,dx = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}$.