# Funciones por partes: gráficas, límites, continuidad y derivadas

> Funciones definidas por partes: cómo leerlas y graficarlas, calcular límites laterales, estudiar continuidad y derivabilidad, e integrar entre tramos.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/funciones/funciones-definidas-por-partes
Actualizado: 2026-11-03

$$ f(x) = \begin{cases} f_1(x) & x < a \\ f_2(x) & x \ge a \end{cases} $$

## De un vistazo

- **Dominio:** La unión de los intervalos que cubren los tramos
- **Continua en x = a:** Cuando $\lim_{x\to a^-}f_1(x) = \lim_{x\to a^+}f_2(x) = f(a)$
- **Derivada:** $f'(x) = \begin{cases} f_1'(x) & x < a \\ f_2'(x) & x > a \end{cases}$
- **Integral:** $\int_b^c f(x)\,dx = \int_b^a f_1(x)\,dx + \int_a^c f_2(x)\,dx$
- **Ejemplos:** Valor absoluto, función parte entera, tramos de impuestos, tarifas de envío

## Ideas clave

- Una función definida por partes usa fórmulas distintas en distintos intervalos de su dominio.
- En un punto de corte, compara el límite por la izquierda, el límite por la derecha y el valor de la función para estudiar la continuidad.
- Deriva cada tramo en su intervalo abierto y luego revisa por separado los puntos de corte con derivadas laterales.
- Para integrar a través de un punto de corte, divide la integral en ese punto.

Una **función definida por partes** (o función a trozos) es una función definida por fórmulas distintas en distintas partes de su dominio. La regla te indica qué fórmula usar según dónde esté $x$. Las funciones por partes son los casos de prueba clásicos para [límites](/blog/what-is-a-limit), [continuidad](/blog/continuity) y derivabilidad, porque lo interesante ocurre donde se unen los tramos.

## Cómo leer una función definida por partes

$$f(x) = \begin{cases} x^2 & x < 1 \\ 3 - x & x \ge 1 \end{cases}$$

Para evaluar, primero averigua qué condición cumple $x$ y luego usa solo ese tramo. Aquí $f(0) = 0^2 = 0$, $f(1) = 3 - 1 = 2$ (porque $x \ge 1$ incluye al $1$) y $f(2) = 3 - 2 = 1$.

## Gráfica de una función definida por partes

```graph
title: 'Gráfica de una función por partes con un salto en x = 1'
caption: 'El tramo izquierdo $x^2$ se acerca al punto hueco $(1, 1)$. El tramo derecho $3 - x$ empieza en el punto relleno $(1, 2)$, que es el valor real $f(1)$.'
x: [-2, 4]
y: [-1.5, 4.5]
functions:
  - expr: x^2
    label: y = x², x < 1
    domain: [-2, 1]
  - expr: 3 - x
    label: y = 3 − x, x ≥ 1
    domain: [1, 4]
points:
  - [1, 1, '(1, 1)', open]
  - [1, 2, '(1, 2)']
```

Cada tramo se dibuja solo en su propio intervalo. Un **punto hueco** marca un extremo que no está incluido; un **punto relleno** marca uno que sí lo está.

## Límites de funciones definidas por partes

En un punto de corte $a$, calcula por separado los dos [límites laterales](/blog/how-to-evaluate-limits), cada uno con su propio tramo. Para la función anterior en $a = 1$:

$$\lim_{x\to 1^-}f(x) = \lim_{x\to 1^-}x^2 = 1, \qquad \lim_{x\to 1^+}f(x) = \lim_{x\to 1^+}(3 - x) = 2$$

Los límites laterales son distintos, así que $\lim_{x\to 1}f(x)$ no existe y la gráfica tiene un salto. Lejos del punto de corte, un límite es simplemente [sustitución directa](/rules/direct-substitution) en el tramo activo.

## Continuidad en un punto de corte

$f$ es continua en $a$ cuando coinciden estos tres valores:

1. el límite por la izquierda $\lim_{x\to a^-}f(x)$,
2. el límite por la derecha $\lim_{x\to a^+}f(x)$,
3. el valor $f(a)$.

**Ejemplo: elegir una constante.** Buscamos el valor de $k$ que hace continua la función

$$g(x) = \begin{cases} kx + 1 & x < 2 \\ x^2 & x \ge 2 \end{cases}$$

El límite por la izquierda en $2$ es $2k + 1$, y el límite por la derecha y el valor son $2^2 = 4$. Igualando $2k + 1 = 4$ se obtiene $k = \frac{3}{2}$.

## Derivadas de funciones definidas por partes

Dentro de cada intervalo abierto, deriva el tramo activo como siempre. En un punto de corte necesitas dos comprobaciones:

- $f$ debe ser continua ahí (un salto significa que no hay derivada).
- Las derivadas por la izquierda y por la derecha deben coincidir: $\lim_{h\to 0^-}\frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \lim_{h\to 0^+}\frac{f(a+h) - f(a)}{h}$.

Cuando ambos tramos son polinomios derivables y $f$ es continua en $a$, la segunda comprobación se reduce a comparar $f_1'(a)$ con $f_2'(a)$.

**Ejemplo: un pico.** La [función valor absoluto](/functions/absolute-value-function) $|x|$ vale $-x$ para $x < 0$ y $x$ para $x \ge 0$. Es continua en $0$, pero la pendiente por la izquierda es $-1$ y por la derecha es $1$, así que $|x|$ no es derivable en $0$.

**Ejemplo: continua pero no suave.** Para la $g$ anterior con $k = \frac{3}{2}$, la pendiente por la izquierda en $2$ es $\frac{3}{2}$ y la pendiente por la derecha es $2x = 4$. Son distintas, así que $g$ es continua pero no derivable en $x = 2$.

## Integrar una función definida por partes

Divide la integral en cada punto de corte que haya dentro del intervalo. Para la primera función en $[0, 3]$:

$$\int_0^3 f(x)\,dx = \int_0^1 x^2\,dx + \int_1^3 (3 - x)\,dx = \frac{1}{3} + 2 = \frac{7}{3}$$

La segunda integral es $\left[3x - \frac{x^2}{2}\right]_1^3 = \frac{9}{2} - \frac{5}{2} = 2$. Un único salto no cambia el valor de la integral, así que no importa a qué tramo pertenezca el punto $x = 1$.

## Errores comunes

1. **Usar el tramo equivocado en el borde.** Revisa si la condición dice $<$ o $\le$ antes de evaluar $f(a)$.
2. **Concluir la continuidad mirando un solo lado.** Ambos límites laterales y el valor deben coincidir.
3. **Suponer que continua significa derivable.** Los picos como $|x|$ en $0$ son continuos pero no tienen derivada.
4. **Derivar los tramos y compararlos en un salto.** Si $f$ no es continua en $a$, no es derivable ahí, aunque las pendientes de los tramos coincidan.
5. **Integrar una sola fórmula en todo el intervalo.** Divide siempre en los puntos de corte.

## Funciones relacionadas

Las [funciones parte entera superior e inferior](/functions/floor-and-ceiling-functions) son funciones escalonadas constantes a trozos con un salto en cada entero, y el [valor absoluto](/functions/absolute-value-function) es la función por partes más sencilla con un pico. Para un tratamiento completo de límites y continuidad, consulta la guía de [continuidad](/blog/continuity).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cómo se calcula el límite de una función definida por partes?

Lejos de un punto de corte, usa la fórmula de ese tramo. En un punto de corte, calcula el límite por la izquierda con el tramo izquierdo y el límite por la derecha con el tramo derecho. El límite existe solo si coinciden.

### ¿Cómo se hace continua una función definida por partes?

En cada punto de corte $a$, iguala los dos tramos en $x = a$ y despeja la constante desconocida. Así obligas a que los límites por la izquierda y por la derecha coincidan con $f(a)$.

### ¿Una función por partes continua es siempre derivable?

No. Los tramos pueden unirse con pendientes distintas y formar un pico. La función valor absoluto $|x|$ es continua en $0$ pero no es derivable ahí.

### ¿Cómo se grafica una función definida por partes?

Grafica cada fórmula solo en su propio intervalo. En cada extremo dibuja un punto relleno si el extremo está incluido y un punto hueco si no lo está.