# Funciones exponenciales bˣ: gráficas, crecimiento, derivada e integral > Funciones exponenciales f(x) = b^x: gráficas de crecimiento y decrecimiento, propiedades, la derivada b^x ln b, la integral b^x / ln b + C y ejemplos resueltos. Fuente: https://practicecalculus.com/es/funciones/funciones-exponenciales Actualizado: 2026-11-03 $$ f(x) = b^x, \quad b > 0,\ b \ne 1 $$ ## De un vistazo - **Dominio:** $(-\infty, \infty)$ - **Rango:** $(0, \infty)$ - **Derivada:** $b^x \ln b$ - **Integral:** $\frac{b^x}{\ln b} + C$ - **Crecimiento o decrecimiento:** Crecimiento si $b > 1$, decrecimiento si $0 < b < 1$ - **Inversa:** $\log_b x$ ## Ideas clave - Una función exponencial $b^x$ tiene una base positiva fija $b \ne 1$ y la variable en el exponente. - Su derivada es $b^x\ln b$: la misma función, multiplicada por el logaritmo natural de la base. - Su integral es $\frac{b^x}{\ln b} + C$. - Toda exponencial puede reescribirse como $b^x = e^{x\ln b}$, y así se deducen ambas reglas. Una **función exponencial** tiene una base constante elevada a una potencia variable, $f(x) = b^x$. Cada vez que $x$ aumenta en $1$, la salida se multiplica por el mismo factor $b$, y por eso las exponenciales modelan el interés compuesto, el crecimiento de poblaciones, la vida media y cualquier cosa que cambie en un porcentaje fijo. ## Fórmula $$f(x) = b^x, \qquad b > 0,\ b \ne 1$$ En general, $f(x) = A\,b^x$, donde $A = f(0)$ es el valor inicial. Las restricciones sobre $b$ importan: $b = 1$ da la constante $1$, y una base negativa como $(-2)^x$ no es real para la mayoría de los $x$ fraccionarios. La base más importante es $e$; consulta la [función exponencial natural](/functions/natural-exponential-function). ## Gráficas de funciones exponenciales ```graph title: 'Gráficas de las funciones exponenciales y = 2ˣ e y = (1/2)ˣ' caption: 'Ambas pasan por $(0, 1)$ y tienen la asíntota horizontal $y = 0$. La base $2$ muestra crecimiento; la base $\tfrac{1}{2}$ muestra decrecimiento y es su reflejo respecto al eje $y$.' x: [-4, 4] y: [-1, 9] functions: - expr: 2^x label: y = 2ˣ - expr: (0.5)^x label: y = (1/2)ˣ points: - [0, 1, '(0, 1)'] ``` ## Propiedades clave - **Dominio**: todos los reales; **rango**: $(0, \infty)$; la gráfica siempre pasa por $(0, 1)$. - **Crecimiento ($b > 1$):** creciente, $b^x \to \infty$ cuando $x \to \infty$ y $b^x \to 0$ cuando $x \to -\infty$. - **Decrecimiento ($0 < b < 1$):** decreciente, con los límites opuestos. - **Asíntota horizontal** $y = 0$ en ambos casos. No tiene cortes con el eje $x$. - **Cóncava hacia arriba** para cualquier base válida. - **La inversa** es la [función logarítmica](/functions/logarithmic-functions) $\log_b x$. - **Cambio de base:** $b^x = e^{x\ln b}$. - **Leyes de los exponentes:** $b^{m}b^{n} = b^{m+n}$, $\frac{b^m}{b^n} = b^{m-n}$, $(b^m)^n = b^{mn}$, $b^{-n} = \frac{1}{b^n}$. ## Derivada de bˣ Reescribe con base $e$ y usa la [regla de la cadena](/rules/chain-rule): $$\frac{d}{dx}b^x = \frac{d}{dx}e^{x\ln b} = e^{x\ln b}\ln b = b^x\ln b$$ La derivada es proporcional a la propia función. Para $b > 1$, $\ln b > 0$ (crecimiento); para $0 < b < 1$, $\ln b < 0$ (decrecimiento). Con una función interior, $\frac{d}{dx}b^{g(x)} = b^{g(x)}\ln b \cdot g'(x)$. ## Integral de bˣ $$\int b^x\,dx = \frac{b^x}{\ln b} + C$$ Deriva el lado derecho para comprobarlo: $\frac{b^x\ln b}{\ln b} = b^x$. ## Ejemplos resueltos **Ejemplo 1.** $\frac{d}{dx}5^x = 5^x\ln 5$. **Ejemplo 2: regla de la cadena.** $\frac{d}{dx}3^{x^2} = 3^{x^2}\ln 3 \cdot 2x$. **Ejemplo 3: integral definida.** $\int_0^2 2^x\,dx = \left[\frac{2^x}{\ln 2}\right]_0^2 = \frac{4 - 1}{\ln 2} = \frac{3}{\ln 2} \approx 4.33$. **Ejemplo 4: vida media.** Una muestra con una vida media de $5$ años cumple $A(t) = A_0\left(\frac{1}{2}\right)^{t/5}$. La tasa de decrecimiento es $$A'(t) = A_0\left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/5}\ln\tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{1}{5} = -\frac{\ln 2}{5}A(t)$$ así que, en cada instante, la muestra pierde alrededor del $13.9\%$ de su cantidad actual por año. **Ejemplo 5: interés compuesto.** Con un interés anual del $5\%$, $P(t) = P_0(1.05)^t$. Con capitalización continua se convierte en $P_0e^{0.05t}$. ## Errores comunes 1. **Usar la regla de la potencia.** $\frac{d}{dx}2^x \ne x\,2^{x-1}$. 2. **Olvidar el factor $\ln b$**, o escribir $\log_{10} b$ en lugar de $\ln b$. 3. **Multiplicar en lugar de dividir al integrar.** $\int 2^x\,dx = \frac{2^x}{\ln 2} + C$, no $2^x\ln 2 + C$. 4. **Escribir $2 \cdot 3^x = 6^x$.** El coeficiente no se combina con la base. ## Cómo se relaciona Las exponenciales crecen más rápido que cualquier polinomio, un hecho clave en muchos problemas de [límites en el infinito](/blog/limits-at-infinity) y de la [regla de L'Hôpital](/blog/lhopitals-rule). Las sucesiones geométricas son exponenciales evaluadas en números enteros, lo que lleva a la [serie geométrica](/blog/geometric-series). Para practicar más derivadas, lee la guía de [derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas](/blog/derivatives-of-exponential-and-logarithmic-functions). ## Preguntas frecuentes ### ¿Cuál es la derivada de a^x? La derivada de $a^x$ es $a^x\ln a$. Por ejemplo, $\frac{d}{dx}2^x = 2^x\ln 2$. Cuando $a = e$, $\ln e = 1$ y la fórmula se reduce a $\frac{d}{dx}e^x = e^x$. ### ¿Cuál es la integral de a^x? $\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$ para $a > 0$, $a \ne 1$. Por ejemplo, $\int 3^x\,dx = \frac{3^x}{\ln 3} + C$. ### ¿Qué diferencia hay entre crecimiento y decrecimiento exponencial? Si la base $b > 1$, la función crece a medida que $x$ aumenta (crecimiento exponencial). Si $0 < b < 1$, se reduce hacia $0$ (decrecimiento exponencial). En la forma $Ae^{kt}$, crecimiento significa $k > 0$ y decrecimiento significa $k < 0$. ### ¿Por qué no se puede usar la regla de la potencia con 2^x? La regla de la potencia es para una base variable con exponente constante, como $x^2$. En $2^x$ la base es constante y el exponente varía, así que necesitas la regla exponencial $\frac{d}{dx}2^x = 2^x\ln 2$.