# Funciones hiperbólicas senh, cosh y tanh: gráficas y derivadas

> Las funciones hiperbólicas senh x, cosh x y tanh x: definiciones con exponenciales, gráficas, identidades, derivadas, integrales y ejemplos resueltos.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/funciones/funciones-hiperbolicas
Actualizado: 2026-11-03

$$ \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}, \quad \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}, \quad \tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} $$

## De un vistazo

- **Dominio de senh x:** $(-\infty, \infty)$
- **Rango de senh x:** $(-\infty, \infty)$
- **Derivada:** $\cosh x$
- **Integral:** $\cosh x + C$
- **Identidad clave:** $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$
- **Rango de cosh x y tanh x:** $[1, \infty)$ y $(-1, 1)$

## Ideas clave

- $\sinh x$ y $\cosh x$ se construyen a partir de $e^x$ y $e^{-x}$: son su parte impar y su parte par.
- Derivadas: $(\sinh x)' = \cosh x$, $(\cosh x)' = \sinh x$ y $(\tanh x)' = \operatorname{sech}^2 x$, sin signos menos.
- La identidad principal es $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$, con un menos donde la trigonometría tiene un más.
- Las funciones hiperbólicas no son periódicas: crecen exponencialmente (senh, cosh) o se estabilizan (tanh).

Las **funciones hiperbólicas** $\sinh x$, $\cosh x$ y $\tanh x$ son combinaciones de $e^x$ y $e^{-x}$ que se comportan de forma muy parecida a las funciones trigonométricas. Comparten casi las mismas identidades y reglas de derivación, con algunos cambios de signo, y describen formas reales como un cable colgante.

## Definiciones

$$\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}, \qquad \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}, \qquad \tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$$

Sumando las dos primeras se obtiene $\cosh x + \sinh x = e^x$, así que dividen la [función exponencial natural](/functions/natural-exponential-function) en una parte par ($\cosh$) y una parte impar ($\sinh$). Las recíprocas se definen igual que sus primas trigonométricas: $\operatorname{sech} x = \frac{1}{\cosh x}$, $\operatorname{csch} x = \frac{1}{\sinh x}$ y $\coth x = \frac{1}{\tanh x}$.

## Gráficas de senh, cosh y tanh

```graph
title: 'Gráficas de y = senh x, y = cosh x e y = tanh x'
caption: '$\cosh x$ es una curva en forma de U con mínimo $1$ en $x = 0$. $\sinh x$ pasa por el origen y crece sin límite. $\tanh x$ queda encerrada entre $-1$ y $1$.'
x: [-3, 3]
y: [-4, 4]
functions:
  - expr: sinh(x)
    label: y = senh x
  - expr: cosh(x)
    label: y = cosh x
  - expr: tanh(x)
    label: y = tanh x
points:
  - [0, 1, '(0, 1)']
  - [0, 0, '(0, 0)']
```

| Función | Dominio | Rango | Simetría | Valor en $0$ |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $\sinh x$ | todos los reales | todos los reales | impar | $0$ |
| $\cosh x$ | todos los reales | $[1, \infty)$ | par | $1$ |
| $\tanh x$ | todos los reales | $(-1, 1)$ | impar | $0$ |

$\tanh x$ tiene asíntotas horizontales $y = 1$ e $y = -1$, ya que $\tanh x \to 1$ cuando $x \to \infty$ y $\tanh x \to -1$ cuando $x \to -\infty$.

## Identidades hiperbólicas

La identidad central sale directamente de las definiciones:

$$\cosh^2 x - \sinh^2 x = \frac{(e^x + e^{-x})^2 - (e^x - e^{-x})^2}{4} = \frac{4}{4} = 1$$

Compárala con $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$. Otras identidades útiles:

- $1 - \tanh^2 x = \operatorname{sech}^2 x$
- $\sinh(2x) = 2\sinh x\cosh x$
- $\cosh(2x) = \cosh^2 x + \sinh^2 x$

## Derivadas de las funciones hiperbólicas

| Función | Derivada |
| --- | --- |
| $\sinh x$ | $\cosh x$ |
| $\cosh x$ | $\sinh x$ |
| $\tanh x$ | $\operatorname{sech}^2 x$ |

Cada una se deduce de $\frac{d}{dx}e^{-x} = -e^{-x}$. Por ejemplo,

$$\frac{d}{dx}\sinh x = \frac{e^x - (-e^{-x})}{2} = \frac{e^x + e^{-x}}{2} = \cosh x$$

Para $\tanh x$, la [regla del cociente](/rules/quotient-rule) da $\frac{\cosh^2 x - \sinh^2 x}{\cosh^2 x} = \frac{1}{\cosh^2 x} = \operatorname{sech}^2 x$.

## Integrales de las funciones hiperbólicas

| Función | Integral |
| --- | --- |
| $\sinh x$ | $\cosh x + C$ |
| $\cosh x$ | $\sinh x + C$ |
| $\tanh x$ | $\ln(\cosh x) + C$ |
| $\operatorname{sech}^2 x$ | $\tanh x + C$ |

La integral de $\tanh$ usa $u = \cosh x$: $\int\frac{\sinh x}{\cosh x}\,dx = \ln|\cosh x| + C$, y el valor absoluto se puede quitar porque $\cosh x \ge 1$.

## Ejemplos resueltos

**Ejemplo 1: regla de la cadena.** $\frac{d}{dx}\cosh(x^2) = 2x\sinh(x^2)$.

**Ejemplo 2: evaluar.** Calcula $\cosh(\ln 2)$. Como $e^{\ln 2} = 2$ y $e^{-\ln 2} = \frac{1}{2}$,

$$\cosh(\ln 2) = \frac{2 + \frac{1}{2}}{2} = \frac{5}{4}$$

**Ejemplo 3: una integral definida.** $\int_0^{1}\cosh x\,dx = \sinh 1 - \sinh 0 = \frac{e - e^{-1}}{2} \approx 1.175$.

**Ejemplo 4: sustitución (cambio de variable).** $\int\sinh(3x)\,dx = \frac{1}{3}\cosh(3x) + C$.

## Errores comunes

1. **Copiar el signo menos de la trigonometría.** $\frac{d}{dx}\cosh x = \sinh x$, no $-\sinh x$.
2. **Usar la identidad trigonométrica.** Es $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$, con signo menos.
3. **Esperar periodicidad.** Las funciones hiperbólicas nunca se repiten. $\sinh$ y $\cosh$ crecen como $\frac{e^x}{2}$ para $x$ grande.
4. **Confundir $\sinh x$ con $\sin x$.** Son funciones distintas; $\sinh 0 = 0$ como $\sin 0$, pero $\sinh x$ no está acotada.

## Dónde aparecen las funciones hiperbólicas

Un cable colgante adopta la forma de una catenaria, $y = a\cosh\frac{x}{a}$, y su longitud de arco es fácil de calcular porque $1 + \sinh^2 x = \cosh^2 x$. La sustitución $x = \sinh t$ es una alternativa a la [sustitución trigonométrica](/blog/trig-substitution) para integrales con $\sqrt{1 + x^2}$. Las funciones hiperbólicas también tienen [series de Taylor](/blog/taylor-series) muy limpias: $\sinh x = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots$, la serie del seno con todos los signos positivos. Para repasar las derivadas exponenciales que hay detrás de todo esto, consulta [derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas](/blog/derivatives-of-exponential-and-logarithmic-functions).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la derivada de senh x y de cosh x?

La derivada de $\sinh x$ es $\cosh x$ y la derivada de $\cosh x$ es $\sinh x$. A diferencia de $\cos x$, no hay signo menos.

### ¿Cuál es la derivada de tanh x?

La derivada de $\tanh x$ es $\operatorname{sech}^2 x = \frac{1}{\cosh^2 x}$, que también es igual a $1 - \tanh^2 x$.

### ¿Por qué se llaman funciones hiperbólicas?

El punto $(\cosh t, \sinh t)$ siempre está sobre la hipérbola $x^2 - y^2 = 1$, igual que $(\cos t, \sin t)$ está sobre la circunferencia $x^2 + y^2 = 1$.

### ¿Qué es una catenaria?

Una catenaria es la curva que forma una cadena o un cable colgante bajo su propio peso. Su ecuación es $y = a\cosh\frac{x}{a}$.

### ¿Cómo se leen senh y cosh?

Se leen como "seno hiperbólico" para $\sinh$, "coseno hiperbólico" para $\cosh$ y "tangente hiperbólica" para $\tanh$. En español también se escriben senh, cosh y tanh, y la forma completa siempre es clara.