# Funciones logarítmicas log_b(x): gráficas, reglas, derivada e integral

> Funciones logarítmicas log_b x: definición, gráficas, propiedades de los logaritmos, cambio de base, la derivada 1/(x ln b), la integral y ejemplos resueltos.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/funciones/funciones-logaritmicas
Actualizado: 2026-11-03

$$ f(x) = \log_b x, \quad b > 0,\ b \ne 1 $$

## De un vistazo

- **Dominio:** $(0, \infty)$
- **Rango:** $(-\infty, \infty)$
- **Derivada:** $\frac{1}{x\ln b}$
- **Integral:** $\frac{x\ln x - x}{\ln b} + C$
- **Cambio de base:** $\log_b x = \frac{\ln x}{\ln b}$
- **Inversa:** $b^x$

## Ideas clave

- El logaritmo $\log_b x$ es el exponente al que hay que elevar $b$ para obtener $x$, así que es la inversa de $b^x$.
- El cambio de base, $\log_b x = \frac{\ln x}{\ln b}$, convierte cualquier logaritmo en un múltiplo de $\ln x$.
- Su derivada es $\frac{1}{x\ln b}$, que se reduce a $\frac{1}{x}$ cuando $b = e$.
- Toda función logarítmica pasa por $(1, 0)$ y tiene una asíntota vertical en $x = 0$.

Una **función logarítmica** $\log_b x$ devuelve el exponente al que hay que elevar la base $b$ para obtener $x$. Por ejemplo, $\log_2 8 = 3$ porque $2^3 = 8$. Los logaritmos deshacen las [funciones exponenciales](/functions/exponential-functions), y en cálculo todo logaritmo es un múltiplo constante del [logaritmo natural](/functions/natural-logarithm).

## Definición y fórmula

$$\log_b x = y \iff b^y = x, \qquad b > 0,\ b \ne 1,\ x > 0$$

Bases habituales: $\log_{10}x$ (a menudo escrito $\log x$), $\ln x = \log_e x$ y $\log_2 x$ en informática.

## Gráficas de funciones logarítmicas

```graph
title: 'Gráficas de y = logaritmo en base 2 de x, y = ln(x) e y = logaritmo en base 10 de x'
caption: 'Todos los logaritmos con base mayor que $1$ pasan por $(1, 0)$ y crecen lentamente. Cuanto mayor es la base, más plana es la curva.'
x: [-0.5, 10]
y: [-3, 4]
functions:
  - expr: ln(x)/ln(2)
    label: y = log en base 2
  - expr: ln(x)
    label: y = ln x
  - expr: log(x)
    label: y = log en base 10
points:
  - [1, 0, '(1, 0)']
vertical:
  - {x: 0, label: 'x = 0'}
```

## Propiedades clave

- **Dominio** $(0, \infty)$, **rango** todos los reales.
- **Pasa por** $(1, 0)$ y $(b, 1)$ para cualquier base.
- **Asíntota vertical** $x = 0$.
- **Creciente** si $b > 1$, **decreciente** si $0 < b < 1$.
- **Inversa de $b^x$:** $b^{\log_b x} = x$ para $x > 0$ y $\log_b(b^x) = x$ para todo $x$. La gráfica es la de $b^x$ reflejada respecto a $y = x$.
- **Crecimiento lento:** para $b > 1$, $\log_b x \to \infty$, pero más despacio que cualquier potencia positiva de $x$.

## Propiedades de los logaritmos

Para $x, y > 0$:

| Regla | Fórmula |
| --- | --- |
| Producto | $\log_b(xy) = \log_b x + \log_b y$ |
| Cociente | $\log_b\frac{x}{y} = \log_b x - \log_b y$ |
| Potencia | $\log_b(x^k) = k\log_b x$ |
| Cambio de base | $\log_b x = \frac{\ln x}{\ln b}$ |
| Valores especiales | $\log_b 1 = 0$, $\log_b b = 1$ |

## Derivada de log_b x

El cambio de base la convierte en un múltiplo constante de $\ln x$:

$$\frac{d}{dx}\log_b x = \frac{1}{\ln b}\cdot\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x\ln b}$$

Con la [regla de la cadena](/rules/chain-rule), $\frac{d}{dx}\log_b g(x) = \frac{g'(x)}{g(x)\ln b}$. Cuando $b = e$, $\ln e = 1$ y recuperas $\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}$.

## Integral de log_b x

$$\int \log_b x\,dx = \frac{1}{\ln b}\int \ln x\,dx = \frac{x\ln x - x}{\ln b} + C$$

## Ejemplos resueltos

**Ejemplo 1: evaluar.** $\log_3 81 = 4$ porque $3^4 = 81$, y $\log_2\frac{1}{8} = -3$ porque $2^{-3} = \frac{1}{8}$.

**Ejemplo 2: derivada.** $\frac{d}{dx}\log_{10}x = \frac{1}{x\ln 10}$. En $x = 10$ la pendiente es $\frac{1}{10\ln 10} \approx 0.0434$.

**Ejemplo 3: regla de la cadena.** $\frac{d}{dx}\log_2(x^2 + 1) = \frac{2x}{(x^2 + 1)\ln 2}$.

**Ejemplo 4: aplica primero las propiedades de los logaritmos.** $\frac{d}{dx}\log_5\left(x^3\sqrt{x}\right) = \frac{d}{dx}\tfrac{7}{2}\log_5 x = \frac{7}{2x\ln 5}$.

**Ejemplo 5: resolver una ecuación exponencial.** Para resolver $2^x = 10$, aplica $\log_2$ a ambos lados: $x = \log_2 10 = \frac{\ln 10}{\ln 2} \approx 3.32$.

## Errores comunes

1. **Olvidar el $\ln b$ en la derivada.** $\frac{d}{dx}\log_{10}x \ne \frac{1}{x}$.
2. **Separar el logaritmo de una suma.** $\log_b(x + y) \ne \log_b x + \log_b y$.
3. **Escribir $\frac{\log_b x}{\log_b y} = \log_b(x - y)$.** La regla del cociente es para el logaritmo de un cociente, no para un cociente de logaritmos.
4. **Invertir el cambio de base.** Es $\frac{\ln x}{\ln b}$, no $\frac{\ln b}{\ln x}$.

## Cómo se relaciona

Los logaritmos convierten ecuaciones exponenciales en lineales y productos en sumas, la idea detrás de la [derivación logarítmica](/rules/logarithmic-differentiation). También aparecen en la integral de $\frac{1}{x}$ y en muchas [integrales impropias](/blog/improper-integrals). Para ver las reglas de derivación junto a las de las exponenciales, lee la guía de [derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas](/blog/derivatives-of-exponential-and-logarithmic-functions).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la derivada del logaritmo en base b de x?

La derivada es $\frac{d}{dx}\log_b x = \frac{1}{x\ln b}$. Por ejemplo, $\frac{d}{dx}\log_{10}x = \frac{1}{x\ln 10}$.

### ¿Cuál es la integral del logaritmo en base b de x?

Escribe $\log_b x = \frac{\ln x}{\ln b}$ y usa $\int \ln x\,dx = x\ln x - x$. El resultado es $\int \log_b x\,dx = \frac{x\ln x - x}{\ln b} + C$.

### ¿Cuál es la fórmula de cambio de base?

Para cualesquiera bases válidas, $\log_b x = \frac{\log_a x}{\log_a b}$. En cálculo la elección natural es $a = e$, lo que da $\log_b x = \frac{\ln x}{\ln b}$.

### ¿Por qué no está definido el logaritmo de un número negativo?

Una base positiva elevada a cualquier potencia real da un número positivo, así que ningún exponente da un número negativo ni cero. Por eso $\log_b x$ solo está definido para $x > 0$.