# Funciones piso y techo: gráficas, límites, derivada e integral > La función piso ⌊x⌋ (parte entera) y la función techo ⌈x⌉: definiciones, gráficas escalonadas, límites laterales, continuidad, derivada y cómo integrarlas. Fuente: https://practicecalculus.com/es/funciones/funciones-piso-y-techo Actualizado: 2026-11-03 $$ \lfloor x \rfloor = \max\{n \in \mathbb{Z} : n \le x\}, \quad \lceil x \rceil = \min\{n \in \mathbb{Z} : n \ge x\} $$ ## De un vistazo - **Dominio:** $(-\infty, \infty)$ - **Rango:** Los enteros $\mathbb{Z}$ - **Derivada:** $\frac{d}{dx}\lfloor x \rfloor = 0 \ \ (x \notin \mathbb{Z})$ - **Integral:** $\int_0^x \lfloor t \rfloor\,dt = \lfloor x \rfloor x - \frac{\lfloor x \rfloor(\lfloor x \rfloor + 1)}{2}$ - **Discontinuidades:** Un salto de tamaño $1$ en cada entero - **Relación:** $\lceil x \rceil = -\lfloor -x \rfloor$ ## Ideas clave - $\lfloor x \rfloor$ redondea hacia abajo al entero más cercano y $\lceil x \rceil$ redondea hacia arriba. - Ambas son funciones escalonadas: constantes entre enteros, con un salto de $1$ en cada entero. - En un entero $n$, $\lim_{x\to n^-}\lfloor x\rfloor = n - 1$ y $\lim_{x\to n^+}\lfloor x\rfloor = n$, así que el límite bilateral no existe. - La derivada es $0$ fuera de los enteros y no está definida en ellos; las integrales son sumas de áreas de rectángulos. La **función piso** $\lfloor x\rfloor$ redondea un número hacia abajo al entero más cercano, y la **función techo** $\lceil x\rceil$ lo redondea hacia arriba. Sus gráficas parecen escaleras, lo que las convierte en los ejemplos clásicos de [funciones definidas por partes](/functions/piecewise-functions) con discontinuidades de salto. La función piso también se llama función parte entera (o mayor entero) y a veces se escribe $[x]$ o $\operatorname{int}(x)$. ## Definiciones $$\lfloor x\rfloor = \text{the largest integer } n \text{ with } n \le x, \qquad \lceil x\rceil = \text{the smallest integer } n \text{ with } n \ge x$$ Es decir, el piso es el mayor entero que no supera al número, y el techo es el menor entero que no queda por debajo de él. | $x$ | $2.7$ | $2$ | $0.4$ | $-0.4$ | $-2.7$ | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | $\lfloor x\rfloor$ | $2$ | $2$ | $0$ | $-1$ | $-3$ | | $\lceil x\rceil$ | $3$ | $2$ | $1$ | $0$ | $-2$ | Cuidado con los números negativos: redondear $-2.7$ **hacia abajo** lo lleva a $-3$, no a $-2$. ## Gráfica de la función piso ```graph title: 'Gráfica de la función piso y = ⌊x⌋ de x = −1 a x = 3' caption: 'Cada escalón incluye su extremo izquierdo (punto relleno) y excluye su extremo derecho (punto hueco), porque $\lfloor n\rfloor = n$ en cada entero $n$.' x: [-1.5, 3.5] y: [-1.8, 2.8] functions: - expr: '-1' domain: [-1, 0] - expr: '0' domain: [0, 1] - expr: '1' domain: [1, 2] - expr: '2' domain: [2, 3] points: - [-1, -1, '', closed] - [0, -1, '', open] - [0, 0, '', closed] - [1, 0, '', open] - [1, 1, '', closed] - [2, 1, '', open] - [2, 2, '(2, 2)', closed] - [3, 2, '', open] ``` ## Gráfica de la función techo ```graph title: 'Gráfica de la función techo y = ⌈x⌉ de x = −1 a x = 3' caption: 'Los escalones de la función techo están cerrados a la derecha y abiertos a la izquierda, al revés que en la función piso.' x: [-1.5, 3.5] y: [-0.8, 3.8] functions: - expr: '0' domain: [-1, 0] - expr: '1' domain: [0, 1] - expr: '2' domain: [1, 2] - expr: '3' domain: [2, 3] points: - [-1, 0, '', open] - [0, 0, '', closed] - [0, 1, '', open] - [1, 1, '', closed] - [1, 2, '', open] - [2, 2, '', closed] - [2, 3, '', open] - [3, 3, '(3, 3)', closed] ``` ## Propiedades clave - **Rango.** Ambas funciones solo devuelven enteros. - **Cotas.** $x - 1 < \lfloor x\rfloor \le x \le \lceil x\rceil < x + 1$. - **Los enteros quedan fijos.** $\lfloor n\rfloor = \lceil n\rceil = n$ para cualquier entero $n$. - **Desplazar por un entero.** $\lfloor x + n\rfloor = \lfloor x\rfloor + n$ para cualquier entero $n$. - **Piso y techo están relacionados.** $\lceil x\rceil = -\lfloor -x\rfloor$, y para un $x$ no entero, $\lceil x\rceil = \lfloor x\rfloor + 1$. ## Límites y continuidad Entre enteros la función piso es constante, así que es continua allí. En un entero $n$ los [límites laterales](/blog/how-to-evaluate-limits) no coinciden: $$\lim_{x\to n^-}\lfloor x\rfloor = n - 1, \qquad \lim_{x\to n^+}\lfloor x\rfloor = n$$ Por tanto, $\lim_{x\to n}\lfloor x\rfloor$ no existe y hay un salto de tamaño $1$. Como el límite por la derecha es igual a $\lfloor n\rfloor$, la función piso es **continua por la derecha**. La función techo es al revés: $\lim_{x\to n^-}\lceil x\rceil = n$ y $\lim_{x\to n^+}\lceil x\rceil = n + 1$, así que es **continua por la izquierda**. Para las definiciones formales, consulta la guía de [continuidad](/blog/continuity). **Ejemplo: un límite en el infinito.** Calcula $\lim_{x\to\infty}\frac{\lfloor x\rfloor}{x}$. Para $x > 0$, al dividir $x - 1 < \lfloor x\rfloor \le x$ entre $x$ se obtiene $1 - \frac{1}{x} < \frac{\lfloor x\rfloor}{x} \le 1$. Ambas cotas tienden a $1$, así que por el [Teorema del Sándwich](/theorems/squeeze-theorem) el límite es $1$. ## Derivada de la función piso $$\frac{d}{dx}\lfloor x\rfloor = 0 \quad \text{for } x \notin \mathbb{Z}$$ En cada intervalo abierto $(n, n+1)$ la función es la constante $n$, cuya derivada es $0$. En un entero la función no es continua, así que no es derivable. Lo mismo ocurre con la función techo. ## Integral de la función piso Cada intervalo unidad $[k, k+1]$ aporta un rectángulo de altura $k$ y base $1$, así que basta sumar áreas de rectángulos, como en una [suma de Riemann](/blog/riemann-sums) que resulta ser exacta. Para $x \ge 0$: $$\int_0^x\lfloor t\rfloor\,dt = (0 + 1 + \cdots + (n - 1)) + n(x - n) = nx - \frac{n(n+1)}{2}, \qquad n = \lfloor x\rfloor$$ La misma fórmula también vale para $x$ negativo. **Ejemplo.** $\int_0^{3.5}\lfloor t\rfloor\,dt = 0 + 1 + 2 + 3(0.5) = 4.5$. La fórmula coincide: $3(3.5) - \frac{3\cdot 4}{2} = 10.5 - 6 = 4.5$. **Ejemplo con techo.** $\int_0^3\lceil t\rceil\,dt = 1 + 2 + 3 = 6$, ya que $\lceil t\rceil$ vale $1$ en $(0, 1]$, $2$ en $(1, 2]$ y $3$ en $(2, 3]$. Los puntos aislados no afectan a una integral. ## Errores comunes 1. **Redondear los negativos hacia cero.** $\lfloor -1.2\rfloor = -2$, no $-1$. 2. **Afirmar que el límite en un entero existe.** Los límites por la izquierda y por la derecha difieren en $1$. 3. **Poner el punto relleno en el extremo equivocado.** Los escalones del piso están cerrados a la izquierda; los del techo, a la derecha. 4. **Derivar en un salto.** La derivada es $0$ solo entre enteros. En los enteros no existe. ## Dónde las verás Las funciones escalonadas modelan cualquier cosa que se cobre por unidades completas: el envío por cada fracción de peso, el estacionamiento por hora o los tramos de impuestos. En cálculo son los ejemplos de referencia para los límites laterales y para funciones integrables que no son continuas. Consulta la estrategia general en [funciones definidas por partes](/functions/piecewise-functions) y compárala con el pico de la [función valor absoluto](/functions/absolute-value-function). ## Preguntas frecuentes ### ¿Qué es la función piso? La función piso $\lfloor x\rfloor$, también llamada función parte entera, da el mayor entero menor o igual que $x$. Por ejemplo, $\lfloor 2.7\rfloor = 2$ y $\lfloor -2.7\rfloor = -3$. ### ¿Qué diferencia hay entre piso y techo? El piso redondea hacia abajo y el techo hacia arriba. Coinciden en los enteros, y para un $x$ no entero el techo es exactamente uno más que el piso. ### ¿La función piso es continua? Es continua en todo número no entero y tiene una discontinuidad de salto en cada entero. Es continua por la derecha en todo punto: $\lim_{x\to n^+}\lfloor x\rfloor = n = \lfloor n\rfloor$. ### ¿Cuál es la derivada de la función piso? Entre enteros la función piso es constante, así que su derivada es $0$. En cada entero da un salto, por lo que no es derivable allí. ### ¿Cómo se integra la función piso? Divide el intervalo en los enteros. En cada tramo la función es constante, así que cada tramo aporta un rectángulo, por ejemplo $\int_0^3\lfloor x\rfloor\,dx = 0 + 1 + 2 = 3$.