# Funciones polinómicas: grado, gráficas, derivadas e integrales

> Funciones polinómicas: grado, término principal, comportamiento en los extremos, raíces y puntos de giro, y cómo derivar e integrar cualquier polinomio.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/funciones/funciones-polinomicas
Actualizado: 2026-11-03

$$ f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 $$

## De un vistazo

- **Dominio:** $(-\infty, \infty)$
- **Derivada:** $na_nx^{n-1} + (n-1)a_{n-1}x^{n-2} + \cdots + a_1$
- **Integral:** $\frac{a_n}{n+1}x^{n+1} + \cdots + \frac{a_1}{2}x^2 + a_0x + C$
- **Continuidad:** Continua y derivable en todo punto
- **Raíces reales:** Como máximo $n$
- **Puntos de giro:** Como máximo $n - 1$

## Ideas clave

- Un polinomio es una suma de términos $a_kx^k$ con exponentes enteros no negativos; su grado es el mayor exponente con coeficiente distinto de cero.
- Un polinomio se deriva y se integra término a término con la regla de la potencia.
- Cada derivada baja el grado en uno, y cada integral lo sube en uno.
- Un polinomio de grado $n$ tiene como máximo $n$ raíces reales y como máximo $n - 1$ puntos de giro.

Una **función polinómica** es una suma finita de funciones potencia con exponentes enteros no negativos, cada una multiplicada por una constante. Las rectas, las parábolas y las cúbicas son polinomios. Son las funciones más amigables del cálculo: continuas en todo punto, suaves en todo punto, y se derivan o integran término a término.

## Definición y fórmula

$$f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0, \qquad a_n \ne 0$$

- El **grado** es $n$, la mayor potencia con coeficiente distinto de cero.
- El **término principal** es $a_nx^n$ y el **coeficiente principal** es $a_n$.
- El **término independiente** $a_0$ es la ordenada al origen (el corte con el eje $y$).

Los exponentes deben ser enteros no negativos $0, 1, 2, \ldots$. Así, $x^3 - 2x$ es un polinomio, pero $\sqrt{x}$, $\frac{1}{x}$ y $2^x$ no lo son.

| Grado | Nombre | Ejemplo |
| --- | --- | --- |
| 0 | [constante](/functions/constant-function) | $5$ |
| 1 | [lineal](/functions/linear-function) | $2x - 1$ |
| 2 | [cuadrática](/functions/quadratic-function) | $x^2 + 3x$ |
| 3 | cúbica | $x^3 - 3x$ |
| 4 | cuártica | $x^4 - x^2$ |

## Gráfica de un polinomio

```graph
title: 'Gráfica del polinomio cúbico y = x³ - 3x y de su derivada'
caption: 'La cúbica tiene puntos de giro en $x = -1$ y $x = 1$, donde su derivada $3x^2 - 3$ vale cero.'
x: [-2.5, 2.5]
y: [-4, 5]
functions:
  - expr: x^3 - 3x
    label: y = x³ - 3x
  - expr: 3x^2 - 3
    label: y = 3x² - 3 (derivada)
    dashed: true
points:
  - [-1, 2, 'máx (-1, 2)']
  - [1, -2, 'mín (1, -2)']
```

## Propiedades clave

- **Continua y derivable en todo punto.** Sin huecos, saltos, picos ni asíntotas, así que todo límite se calcula por [sustitución directa](/rules/direct-substitution).
- **El comportamiento en los extremos** depende solo del término principal. Grado par con $a_n > 0$: ambos extremos hacia arriba. Grado impar con $a_n > 0$: hacia abajo a la izquierda, hacia arriba a la derecha. Un $a_n$ negativo invierte la imagen.
- **Raíces.** Un polinomio de grado $n$ tiene como máximo $n$ raíces reales. Un polinomio de grado impar siempre tiene al menos una, por el [Teorema del Valor Intermedio](/theorems/intermediate-value-theorem).
- **Puntos de giro.** Como máximo $n - 1$, porque $f'$ tiene grado $n - 1$.

## Derivada de un polinomio

Combina la [regla de la potencia](/rules/power-rule), la [regla del múltiplo constante](/rules/constant-multiple-rule) y la [regla de la suma](/rules/sum-and-difference-rule):

$$f'(x) = na_nx^{n-1} + (n-1)a_{n-1}x^{n-2} + \cdots + 2a_2x + a_1$$

El término independiente desaparece y el grado baja en uno. Derivar $n + 1$ veces da $0$.

## Integral de un polinomio

$$\int f(x)\,dx = \frac{a_n}{n+1}x^{n+1} + \cdots + \frac{a_1}{2}x^2 + a_0x + C$$

El grado sube en uno. Las integrales definidas de polinomios siempre son fáciles de evaluar con el [Teorema Fundamental del Cálculo](/blog/fundamental-theorem-of-calculus).

## Ejemplos resueltos

**Ejemplo 1: derivada.** $\frac{d}{dx}\left(4x^5 - 2x^3 + 7x - 1\right) = 20x^4 - 6x^2 + 7$.

**Ejemplo 2: puntos de giro.** Para $f(x) = x^3 - 3x$, $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$, que se anula en $x = \pm 1$. Entonces $f(-1) = 2$ es un máximo local y $f(1) = -2$ es un mínimo local.

**Ejemplo 3: integral.** $\int (6x^2 - 4x + 3)\,dx = 2x^3 - 2x^2 + 3x + C$.

**Ejemplo 4: integral definida.** $\int_0^2 (x^3 - x)\,dx = \left[\frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2}\right]_0^2 = (4 - 2) - 0 = 2$.

## Errores comunes

1. **Derivar un producto sin desarrollarlo ni usar la regla del producto.** $\frac{d}{dx}\left[(x^2 + 1)(x - 3)\right]$ no es $2x \cdot 1$. Desarrolla primero o usa la [regla del producto](/rules/product-rule).
2. **Conservar el término independiente en una derivada.** $\frac{d}{dx}(x^2 + 5) = 2x$, no $2x + 5$.
3. **Olvidar el $+\,C$** en las integrales indefinidas.
4. **Juzgar el comportamiento en los extremos por el primer término escrito.** Usa el término de mayor grado, esté donde esté.

## Cómo se relaciona

Al dividir dos polinomios se obtienen las [funciones racionales](/functions/rational-functions). Los polinomios de Taylor aproximan otras funciones mediante polinomios, y las [series de Taylor](/blog/taylor-series) llevan esta idea a infinitos términos. Para las reglas detrás de cada paso, consulta las [funciones potencia](/functions/power-functions).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cómo se calcula la derivada de un polinomio?

Aplica la regla de la potencia a cada término y suma los resultados. Por ejemplo, $\frac{d}{dx}(2x^3 - 5x^2 + x - 4) = 6x^2 - 10x + 1$.

### ¿Cómo se integra un polinomio?

Usa la regla de la potencia inversa en cada término: suma uno al exponente y divide entre el nuevo exponente; después añade $C$. Por ejemplo, $\int (3x^2 + 4x)\,dx = x^3 + 2x^2 + C$.

### ¿Qué determina el comportamiento de un polinomio en los extremos?

Solo importa el término principal $a_nx^n$ cuando $x \to \pm\infty$. Con grado par, ambos extremos van en la misma dirección; con grado impar, van en direcciones opuestas, y el signo de $a_n$ decide cuál.

### ¿Los polinomios son siempre continuos?

Sí. Todo polinomio es continuo y derivable en cada número real, así que los límites de polinomios siempre se pueden calcular por sustitución directa.

### ¿Cuántos puntos de giro puede tener un polinomio?

Un polinomio de grado $n$ tiene como máximo $n - 1$ puntos de giro, porque su derivada tiene grado $n - 1$ y, por tanto, como máximo $n - 1$ ceros.