# Funciones potencia f(x) = xⁿ: gráficas, derivada, integral y reglas

> Funciones potencia f(x) = xⁿ con n entero, negativo o fraccionario: gráficas, dominios, la derivada nxⁿ⁻¹, la integral y la excepción n = -1.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/funciones/funciones-potencia
Actualizado: 2026-11-03

$$ f(x) = x^n $$

## De un vistazo

- **Dominio:** Todos los reales para $n \ge 0$ entero; $x \ne 0$ para $n$ negativo
- **Derivada:** $nx^{n-1}$
- **Integral:** $\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$
- **Excepción:** $\int x^{-1}\,dx = \ln|x| + C$
- **Par o impar:** Par para $n$ entero par, impar para $n$ entero impar
- **Pasa por:** $(1, 1)$ para todo $n$

## Ideas clave

- Una función potencia es $f(x) = x^n$ con un exponente constante $n$, que puede ser entero, negativo o fraccionario.
- La derivada es $nx^{n-1}$ para toda constante real $n$.
- La integral es $\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, salvo cuando $n = -1$, en cuyo caso es $\ln|x| + C$.
- Reescribe raíces y recíprocos como potencias antes de derivar o integrar.

Una **función potencia** eleva la entrada a un exponente fijo: $f(x) = x^n$. La familia incluye parábolas, cúbicas, recíprocas y raíces, y una sola regla, la [regla de la potencia](/rules/power-rule), deriva a todos sus miembros.

## Fórmula

$$f(x) = x^n$$

El exponente $n$ es una constante. En general, $f(x) = kx^n$ con un coeficiente constante $k$. Miembros habituales:

| $n$ | Función | Nombre |
| --- | --- | --- |
| $0$ | $1$ | [constante](/functions/constant-function) |
| $1$ | $x$ | recta identidad |
| $2$ | $x^2$ | parábola |
| $3$ | $x^3$ | cúbica |
| $-1$ | $\frac{1}{x}$ | [recíproca](/functions/reciprocal-function) |
| $\frac{1}{2}$ | $\sqrt{x}$ | [raíz cuadrada](/functions/square-root-function) |

## Gráficas de funciones potencia

```graph
title: 'Gráficas de las funciones potencia y = x², y = x³ e y = √x'
caption: 'Toda función potencia pasa por $(1, 1)$. Las potencias pares son simétricas respecto del eje $y$; las impares, respecto del origen.'
x: [-2.5, 2.5]
y: [-3, 4]
functions:
  - expr: x^2
    label: y = x²
  - expr: x^3
    label: y = x³
  - expr: sqrt(x)
    label: y = √x
points:
  - [1, 1, '(1, 1)']
```

Cómo el exponente determina la forma de la gráfica:

- **$n$ entero par** ($x^2, x^4, \ldots$): forma de U, función par, rango $[0, \infty)$.
- **$n$ entero impar** ($x^3, x^5, \ldots$): forma de S, función impar, rango todos los reales.
- **$n$ negativo** ($x^{-1}, x^{-2}, \ldots$): no está definida en $0$, con una asíntota vertical en $x = 0$ y una asíntota horizontal $y = 0$.
- **$n = \frac{p}{q}$ fraccionario**: una raíz par ($q$ par) restringe el dominio a $x \ge 0$; una raíz impar admite todos los reales.
- En $(0, 1)$ las potencias más altas son más pequeñas; en $(1, \infty)$ las potencias más altas son más grandes.

## Derivada de una función potencia

$$\frac{d}{dx}\,x^n = nx^{n-1}$$

Baja el exponente y luego réstale uno. Vale para toda constante real $n$ allí donde $x^n$ sea derivable. Observa que para $0 < n < 1$, como en $\sqrt{x}$, la derivada se dispara en $x = 0$, donde la gráfica tiene una tangente vertical.

## Integral de una función potencia

$$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \qquad n \ne -1$$

Suma uno al exponente y luego divide entre el nuevo exponente. El caso $n = -1$ dividiría entre cero; en su lugar

$$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$$

Consulta la [regla de la potencia inversa](/rules/reverse-power-rule).

## Ejemplos resueltos

**Ejemplo 1.** $\frac{d}{dx}x^7 = 7x^6$.

**Ejemplo 2: potencia negativa.** $\frac{d}{dx}\frac{4}{x^3} = \frac{d}{dx}4x^{-3} = -12x^{-4} = -\frac{12}{x^4}$.

**Ejemplo 3: potencia fraccionaria.** $\frac{d}{dx}\sqrt[3]{x} = \frac{d}{dx}x^{1/3} = \frac{1}{3}x^{-2/3}$.

**Ejemplo 4: integral.** $\int x^{3/2}\,dx = \frac{x^{5/2}}{5/2} + C = \frac{2}{5}x^{5/2} + C$.

**Ejemplo 5: integral definida.** $\int_1^4 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx = \left[2x^{1/2}\right]_1^4 = 4 - 2 = 2$.

## Errores comunes

1. **Usar la regla de la potencia con $2^x$.** Esa es una [función exponencial](/functions/exponential-functions); su derivada es $2^x\ln 2$.
2. **Restar uno a un exponente negativo en la dirección equivocada.** La derivada de $x^{-3}$ es $-3x^{-4}$, no $-3x^{-2}$.
3. **Aplicar la fórmula de la integral con $n = -1$.** $\frac{x^0}{0}$ no tiene sentido; usa $\ln|x|$.
4. **No reescribir primero.** Convierte $\frac{1}{x^2}$ en $x^{-2}$ y $\sqrt{x}$ en $x^{1/2}$ antes de usar cualquiera de las dos reglas.

## Cómo se relaciona

Las sumas de funciones potencia con exponentes enteros no negativos son [funciones polinómicas](/functions/polynomial-functions), y las series de potencias extienden esa idea a infinitos términos. Para una explicación más profunda con ejercicios de práctica, lee la guía de la [regla de la potencia](/blog/power-rule) y la de [antiderivadas](/blog/antiderivatives).

## Preguntas frecuentes

### ¿Qué es una función potencia?

Una función potencia tiene la forma $f(x) = x^n$ (o $kx^n$), donde el exponente $n$ es una constante. Algunos ejemplos son $x^3$, $x^{-1} = \frac{1}{x}$ y $x^{1/2} = \sqrt{x}$.

### ¿Cuál es la derivada de x^n?

Por la regla de la potencia, $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$. Vale para cualquier constante real $n$, incluidos los exponentes negativos y fraccionarios.

### ¿Cuál es la integral de x^n?

Para $n \ne -1$, $\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$. Cuando $n = -1$ la fórmula dividiría entre cero, y la integral es $\ln|x| + C$.

### ¿Qué diferencia hay entre una función potencia y una función exponencial?

En una función potencia como $x^2$ la variable es la base y el exponente es fijo. En una función exponencial como $2^x$ la base es fija y la variable es el exponente, y las reglas de derivación son completamente distintas.