# Funciones racionales: asíntotas, huecos, derivadas e integrales

> Funciones racionales P(x)/Q(x): dominio, asíntotas verticales y horizontales, huecos, derivadas con la regla del cociente e integrales por fracciones parciales.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/funciones/funciones-racionales
Actualizado: 2026-11-03

$$ f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}, \quad Q(x) \ne 0 $$

## De un vistazo

- **Dominio:** Todos los $x$ con $Q(x) \ne 0$
- **Derivada:** $\frac{P'(x)Q(x) - P(x)Q'(x)}{Q(x)^2}$
- **Integral:** $\int \frac{A}{x - r}\,dx = A\ln|x - r| + C$
- **Asíntotas verticales:** Ceros de $Q$ que no se simplifican
- **Asíntota horizontal:** Compara los grados de $P$ y $Q$
- **Método de integración:** División de polinomios y luego fracciones parciales

## Ideas clave

- Una función racional es un cociente de dos polinomios, definido allí donde el denominador no es cero.
- Un cero del denominador da una asíntota vertical, o un hueco si el factor se simplifica con el numerador.
- Se deriva con la regla del cociente; se integra con división de polinomios y fracciones parciales.
- Los grados del numerador y del denominador deciden la asíntota horizontal u oblicua.

Una **función racional** es un polinomio dividido entre otro. Están definidas en todas partes excepto donde el denominador vale cero, y el comportamiento cerca de esos puntos, asíntotas y huecos, es lo que las hace centrales en límites, trazado de curvas e integración.

## Definición y fórmula

$$f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}, \qquad Q(x) \ne 0$$

$P$ y $Q$ son [polinomios](/functions/polynomial-functions) y $Q$ no es el polinomio cero. El ejemplo más sencillo es la [función recíproca](/functions/reciprocal-function) $\frac{1}{x}$. Otros ejemplos son $\frac{2x + 1}{x - 1}$ y $\frac{x^2 - 4}{x - 2}$.

## Gráfica de una función racional

```graph
title: 'Gráfica de la función racional y = (2x + 1)/(x - 1) con sus asíntotas'
caption: 'La asíntota vertical es $x = 1$ y la asíntota horizontal es $y = 2$, el cociente de los coeficientes principales.'
x: [-6, 8]
y: [-8, 12]
functions:
  - expr: (2x + 1)/(x - 1)
    label: y = (2x + 1)/(x - 1)
  - expr: '2'
    label: y = 2 (asíntota horizontal)
    dashed: true
vertical:
  - {x: 1, label: 'x = 1'}
```

## Asíntotas y huecos

Primero factoriza $P$ y $Q$ por completo.

- **Hueco.** Un factor $(x - a)$ que se simplifica arriba y abajo deja una discontinuidad evitable en $x = a$. Ejemplo: $\frac{x^2 - 4}{x - 2} = x + 2$ para $x \ne 2$, una recta con un hueco en $(2, 4)$.
- **Asíntota vertical.** Un cero $a$ del denominador que permanece después de simplificar. Cerca de $x = a$ la función tiende a $\pm\infty$, así que los [límites laterales](/blog/what-is-a-limit) son infinitos.
- **Asíntota horizontal.** Se obtiene de los [límites al infinito](/blog/limits-at-infinity), con $\deg P = m$ y $\deg Q = n$:

| Grados | Comportamiento cuando $x \to \pm\infty$ |
| --- | --- |
| $m < n$ | asíntota $y = 0$ |
| $m = n$ | asíntota $y = \frac{\text{leading coeff of } P}{\text{leading coeff of } Q}$ |
| $m = n + 1$ | asíntota oblicua mediante la división de polinomios |
| $m > n + 1$ | no hay asíntota recta |

## Derivada de una función racional

Usa la [regla del cociente](/rules/quotient-rule):

$$\frac{d}{dx}\,\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{P'(x)Q(x) - P(x)Q'(x)}{Q(x)^2}$$

La derivada vuelve a ser una función racional, con los mismos puntos excluidos de su dominio.

## Integración de funciones racionales

No hay una fórmula única. El método habitual es:

1. Si $\deg P \ge \deg Q$, divide para obtener un polinomio más una fracción propia.
2. Factoriza $Q$ y descompón la fracción propia en [fracciones parciales](/blog/partial-fractions).
3. Integra cada parte. Los factores lineales dan logaritmos, $\int \frac{A}{x - r}\,dx = A\ln|x - r| + C$; los cuadráticos irreducibles dan arcotangentes.

## Ejemplos resueltos

**Ejemplo 1: asíntotas.** Para $f(x) = \frac{2x + 1}{x - 1}$ no se simplifica nada, así que $x = 1$ es una asíntota vertical. Los grados son iguales, así que $y = \frac{2}{1} = 2$ es la asíntota horizontal.

**Ejemplo 2: derivada.** Con $P = 2x + 1$ y $Q = x - 1$:

$$f'(x) = \frac{2(x - 1) - (2x + 1)(1)}{(x - 1)^2} = \frac{-3}{(x - 1)^2}$$

La derivada es siempre negativa, así que $f$ decrece a cada lado de la asíntota.

**Ejemplo 3: un límite con un hueco.** $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 4$.

**Ejemplo 4: integral por fracciones parciales.** Como $\frac{1}{x^2 - 1} = \frac{1/2}{x - 1} - \frac{1/2}{x + 1}$,

$$\int \frac{1}{x^2 - 1}\,dx = \frac{1}{2}\ln\left|\frac{x - 1}{x + 1}\right| + C$$

## Errores comunes

1. **Declarar asíntota cada cero del denominador.** Simplifica primero los factores comunes; los factores simplificados dan huecos.
2. **Simplificar términos en lugar de factores.** $\frac{x + 4}{x + 2} \ne \frac{4}{2}$. Solo se simplifican los factores comunes.
3. **Confundir el orden de la regla del cociente.** El numerador es $P'Q - PQ'$; si lo inviertes, cambia el signo.
4. **Usar fracciones parciales con una fracción impropia.** Divide primero cuando $\deg P \ge \deg Q$.

## Cómo se relaciona

Las funciones racionales son la fuente clásica de límites de la forma $\frac{0}{0}$, el caso de prueba de la [regla de L'Hôpital](/blog/lhopitals-rule) y la principal aplicación de las fracciones parciales en Cálculo 2. Para trazar sus gráficas se usan todas las herramientas del [trazado de curvas](/blog/curve-sketching-with-derivatives).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cómo se encuentran las asíntotas verticales de una función racional?

Factoriza y simplifica los factores comunes; después iguala a cero el denominador que queda. Cada cero restante da una asíntota vertical; un factor que se simplificó da, en cambio, un hueco.

### ¿Cómo se encuentra la asíntota horizontal de una función racional?

Compara los grados. Si el denominador tiene mayor grado, la asíntota es $y = 0$. Si los grados son iguales, es el cociente de los coeficientes principales. Si el numerador tiene mayor grado, no hay asíntota horizontal.

### ¿Cómo se deriva una función racional?

Usa la regla del cociente: $\left(\frac{P}{Q}\right)' = \frac{P'Q - PQ'}{Q^2}$. Con un denominador sencillo puede ser más rápido reescribir con un exponente negativo y usar la regla de la cadena.

### ¿Cómo se integra una función racional?

Si el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador, haz primero la división de polinomios. Después descompón la fracción propia en fracciones parciales, que se integran como logaritmos, potencias y arcotangentes.