# Secante, cosecante y cotangente: gráficas, derivadas e integrales

> Las funciones trigonométricas recíprocas sec x, csc x y cot x: definiciones, gráficas, asíntotas, sus derivadas e integrales, con ejemplos resueltos.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/funciones/funciones-trigonometricas-reciprocas
Actualizado: 2026-11-03

$$ \sec x = \frac{1}{\cos x}, \quad \csc x = \frac{1}{\sin x}, \quad \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} $$

## De un vistazo

- **Dominio de sec x:** $x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi$
- **Rango de sec x:** $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$
- **Derivada:** $\sec x \tan x$
- **Integral:** $\ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C$
- **Periodos:** $\sec$ y $\csc$: $2\pi$; $\cot$: $\pi$

## Ideas clave

- La secante, la cosecante y la cotangente son las recíprocas del coseno, el seno y la tangente.
- Cada una tiene asíntotas verticales donde la función de la que es recíproca vale cero.
- Derivadas: $(\sec x)' = \sec x\tan x$, $(\csc x)' = -\csc x\cot x$, $(\cot x)' = -\csc^2 x$.
- Integrales: $\int\sec x\,dx = \ln|\sec x + \tan x| + C$ y $\int\csc x\,dx = -\ln|\csc x + \cot x| + C$.

Las **funciones trigonométricas recíprocas** son la secante, la cosecante y la cotangente. Cada una es uno dividido entre una función trigonométrica básica: $\sec x = \frac{1}{\cos x}$, $\csc x = \frac{1}{\sin x}$ y $\cot x = \frac{1}{\tan x}$. Aparecen constantemente en las fórmulas de derivadas e integrales, así que, aunque rara vez las grafiques, necesitas conocer sus propiedades de cálculo.

## Definiciones

$$\sec x = \frac{1}{\cos x}, \qquad \csc x = \frac{1}{\sin x}, \qquad \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{1}{\tan x}$$

Una forma rápida de recordar las parejas: cada función de la izquierda tiene exactamente un "co" entre ella y su pareja. La secante va con el **co**seno, la **co**secante va con el seno.

| Función | Recíproca de | No definida en | Periodo | Rango |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $\sec x$ | $\cos x$ | $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ | $2\pi$ | $\lvert y\rvert \ge 1$ |
| $\csc x$ | $\sin x$ | $x = k\pi$ | $2\pi$ | $\lvert y\rvert \ge 1$ |
| $\cot x$ | $\tan x$ | $x = k\pi$ | $\pi$ | todos los reales |

## Gráficas de la secante y la cosecante

```graph
title: 'Gráfica de y = sec x junto a y = cos x para comparar'
caption: 'Donde $\cos x = \pm 1$, $\sec x$ la toca. Donde $\cos x \to 0$, $\sec x$ se dispara hacia una asíntota.'
x: [-4.6, 4.6]
y: [-5, 5]
functions:
  - expr: sec(x)
    label: y = sec x
  - expr: cos(x)
    label: y = cos x
    dashed: true
points:
  - [0, 1, '(0, 1)']
  - [3.1416, -1, '(π, −1)']
vertical:
  - {x: 1.5708, label: 'x = π/2'}
  - {x: -1.5708, label: 'x = −π/2'}
```

La secante nunca está entre $-1$ y $1$: dividir $1$ entre un número de $[-1, 1]$ siempre da algo de tamaño al menos $1$. La gráfica de la cosecante tiene la misma forma desplazada $\frac{\pi}{2}$ hacia la derecha, con asíntotas en los múltiplos de $\pi$.

```graph
title: 'Gráfica de y = cot x con asíntotas en x = 0 y x = π'
caption: 'La cotangente baja de $\infty$ a $-\infty$ en cada intervalo $(k\pi, (k+1)\pi)$ y se anula en $x = \frac{\pi}{2}$.'
x: [-3, 6.2]
y: [-5, 5]
functions:
  - expr: cot(x)
    label: y = cot x
points:
  - [1.5708, 0, '(π/2, 0)']
vertical:
  - {x: 0, label: 'x = 0'}
  - {x: 3.1416, label: 'x = π'}
```

## Derivadas de sec, csc y cot

| Función | Derivada |
| --- | --- |
| $\sec x$ | $\sec x\tan x$ |
| $\csc x$ | $-\csc x\cot x$ |
| $\cot x$ | $-\csc^2 x$ |

**Por qué $(\sec x)' = \sec x\tan x$.** Escribe $\sec x = (\cos x)^{-1}$ y usa la [regla de la cadena](/rules/chain-rule):

$$\frac{d}{dx}(\cos x)^{-1} = -(\cos x)^{-2}\cdot(-\sin x) = \frac{1}{\cos x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x} = \sec x\tan x$$

Los mismos pasos con $\sin x$ dan $(\csc x)' = -\csc x\cot x$, y la [regla del cociente](/rules/quotient-rule) aplicada a $\frac{\cos x}{\sin x}$ da $(\cot x)' = \frac{-\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin^2 x} = -\csc^2 x$.

## Integrales de sec, csc y cot

| Función | Integral |
| --- | --- |
| $\sec x$ | $\ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C$ |
| $\csc x$ | $-\ln\lvert\csc x + \cot x\rvert + C$ |
| $\cot x$ | $\ln\lvert\sin x\rvert + C$ |
| $\sec^2 x$ | $\tan x + C$ |
| $\csc^2 x$ | $-\cot x + C$ |
| $\sec x\tan x$ | $\sec x + C$ |
| $\csc x\cot x$ | $-\csc x + C$ |

**La integral de la secante.** Multiplica numerador y denominador por $\sec x + \tan x$:

$$\int \sec x\,dx = \int \frac{\sec^2 x + \sec x\tan x}{\sec x + \tan x}\,dx$$

El numerador es exactamente la derivada del denominador, así que con $u = \sec x + \tan x$ la integral es $\int\frac{du}{u} = \ln|\sec x + \tan x| + C$.

**La integral de la cotangente.** Con $u = \sin x$, $\int\frac{\cos x}{\sin x}\,dx = \int\frac{du}{u} = \ln|\sin x| + C$.

## Ejemplos resueltos

**Ejemplo 1.** Deriva $f(x) = \sec(2x)$. Por la regla de la cadena, $f'(x) = 2\sec(2x)\tan(2x)$.

**Ejemplo 2.** Deriva $g(x) = x\cot x$. Por la [regla del producto](/rules/product-rule), $g'(x) = \cot x - x\csc^2 x$.

**Ejemplo 3.** Evalúa $\int_0^{\pi/3}\sec x\tan x\,dx$. La antiderivada es $\sec x$, así que el resultado es $\sec\frac{\pi}{3} - \sec 0 = 2 - 1 = 1$.

**Ejemplo 4.** Evalúa $\int \csc^2(5x)\,dx$. Con $u = 5x$, el resultado es $-\frac{1}{5}\cot(5x) + C$.

## Errores comunes

1. **Confundir recíprocas con inversas.** $\sec x = \frac{1}{\cos x}$, pero $\cos^{-1}x$ significa [arcocoseno](/functions/arccosine).
2. **Emparejar la secante con el seno.** La secante es la recíproca del coseno, y la cosecante la recíproca del seno.
3. **Perder los signos menos.** Las derivadas de $\csc x$ y de $\cot x$ son ambas negativas.
4. **Suponer que $\int\sec x\,dx = \sec x\tan x$.** Esa es la derivada, no la integral.

## Dónde las usarás

Las identidades $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$ y $1 + \cot^2 x = \csc^2 x$ son la base de la [sustitución trigonométrica](/blog/trig-substitution), donde $\sqrt{1 + x^2}$ se convierte en $\sec\theta$. La secante también aparece como derivada de la [tangente](/functions/tangent-function), $(\tan x)' = \sec^2 x$. Para un resumen comparativo de las seis derivadas trigonométricas, consulta las [derivadas de las funciones trigonométricas](/blog/derivatives-of-trig-functions).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la derivada de sec x?

La derivada de $\sec x$ es $\sec x\tan x$. Escribe $\sec x = (\cos x)^{-1}$ y usa la regla de la cadena: $-(\cos x)^{-2}(-\sin x) = \frac{1}{\cos x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x}$.

### ¿Cuál es la integral de sec x?

La integral es $\int \sec x\,dx = \ln|\sec x + \tan x| + C$. El truco habitual es multiplicar por $\frac{\sec x + \tan x}{\sec x + \tan x}$; después el numerador es la derivada del denominador.

### ¿Cuáles son las derivadas de csc x y cot x?

La derivada de $\csc x$ es $-\csc x\cot x$ y la derivada de $\cot x$ es $-\csc^2 x$. Ambas llevan signo menos, como todas las derivadas de las funciones "co".

### ¿sec x es lo mismo que la inversa de cos x?

No. $\sec x = \frac{1}{\cos x}$ es un recíproco. La función inversa del coseno es $\arccos x$, a veces escrita $\cos^{-1}x$, que es una función distinta.