# Logaritmo natural ln(x): gráfica, propiedades, derivada e integral

> El logaritmo natural ln x: su gráfica, las propiedades de los logaritmos, por qué su derivada es 1/x, la integral x ln x - x + C y ejemplos resueltos.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/funciones/logaritmo-natural
Actualizado: 2026-11-03

$$ f(x) = \ln x $$

## De un vistazo

- **Dominio:** $(0, \infty)$
- **Rango:** $(-\infty, \infty)$
- **Derivada:** $\frac{1}{x}$
- **Integral:** $x\ln x - x + C$
- **Valores clave:** $\ln 1 = 0$, $\ln e = 1$
- **Inversa:** $e^x$
- **Asíntota:** $x = 0$

## Ideas clave

- El logaritmo natural $\ln x$ es la inversa de $e^x$: $\ln x = y$ significa $e^y = x$.
- Su derivada es $\frac{1}{x}$, y con la regla de la cadena $\frac{d}{dx}\ln g(x) = \frac{g'(x)}{g(x)}$.
- Su integral, que se obtiene por integración por partes, es $x\ln x - x + C$.
- Las propiedades de los logaritmos convierten productos en sumas y potencias en múltiplos, lo que simplifica derivadas difíciles.

El **logaritmo natural** $\ln x$ responde a la pregunta "¿a qué potencia hay que elevar $e$ para obtener $x$?". Es la inversa de la [función exponencial natural](/functions/natural-exponential-function), y su derivada es la sorprendentemente sencilla $\frac{1}{x}$, lo que lo convierte en el logaritmo preferido en cálculo.

## Definición y fórmula

$$\ln x = y \iff e^y = x, \qquad x > 0$$

De forma equivalente, $\ln x$ es el área bajo la [función recíproca](/functions/reciprocal-function) desde $1$ hasta $x$:

$$\ln x = \int_1^x \frac{1}{t}\,dt$$

## Gráfica de ln x

```graph
title: 'Gráfica de y = ln(x) y de su inversa y = eˣ'
caption: 'El logaritmo natural es el reflejo de $e^x$ respecto de la recta $y = x$. Corta al eje $x$ en $(1, 0)$ y tiene una asíntota vertical en $x = 0$.'
x: [-3, 6]
y: [-3, 6]
functions:
  - expr: ln(x)
    label: y = ln x
  - expr: e^x
    label: y = eˣ
  - expr: x
    label: y = x
    dashed: true
points:
  - [1, 0, '(1, 0)']
  - [2.718, 1, '(e, 1)']
```

## Propiedades clave

- **Dominio** $(0, \infty)$, **rango** todos los reales.
- **Valores clave:** $\ln 1 = 0$, $\ln e = 1$, $\ln e^k = k$.
- **Creciente** en todo su dominio ($\frac{1}{x} > 0$) y **cóncava hacia abajo** ($-\frac{1}{x^2} < 0$).
- **Asíntota vertical** $x = 0$: $\lim_{x \to 0^+}\ln x = -\infty$. Además $\lim_{x \to \infty}\ln x = \infty$, pero muy lentamente; $\ln x$ crece más despacio que cualquier potencia positiva de $x$.
- **Identidades de la inversa:** $e^{\ln x} = x$ para $x > 0$ y $\ln e^x = x$ para todo $x$.

## Propiedades de los logaritmos

| Propiedad | Fórmula |
| --- | --- |
| Producto | $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ |
| Cociente | $\ln\frac{a}{b} = \ln a - \ln b$ |
| Potencia | $\ln(a^k) = k\ln a$ |
| Cambio de base | $\log_b x = \frac{\ln x}{\ln b}$ |

Se cumplen para $a, b > 0$. No existe ninguna propiedad para $\ln(a + b)$.

## Derivada de ln x

$$\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}$$

Idea de la demostración: si $y = \ln x$, entonces $e^y = x$. Derivando implícitamente se obtiene $e^y y' = 1$, así que $y' = \frac{1}{e^y} = \frac{1}{x}$. Con la [regla de la cadena](/rules/chain-rule):

$$\frac{d}{dx}\ln g(x) = \frac{g'(x)}{g(x)}$$

## Integral de ln x

Usando [integración por partes](/blog/integration-by-parts) con $u = \ln x$, $dv = dx$, de modo que $du = \frac{1}{x}\,dx$ y $v = x$:

$$\int \ln x\,dx = x\ln x - \int x \cdot \frac{1}{x}\,dx = x\ln x - x + C$$

La dirección inversa es la más habitual: $\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$.

## Ejemplos resueltos

**Ejemplo 1: regla de la cadena.** $\frac{d}{dx}\ln(x^2 + 1) = \frac{2x}{x^2 + 1}$.

**Ejemplo 2: simplificar primero.** $\frac{d}{dx}\ln\frac{x^3}{x + 1} = \frac{d}{dx}\left[3\ln x - \ln(x + 1)\right] = \frac{3}{x} - \frac{1}{x + 1}$.

**Ejemplo 3: regla del producto.** $\frac{d}{dx}(x^2\ln x) = 2x\ln x + x$.

**Ejemplo 4: integral definida.** $\int_1^e \ln x\,dx = \left[x\ln x - x\right]_1^e = (e - e) - (0 - 1) = 1$.

**Ejemplo 5: integral logarítmica.** Con $u = x^2 + 4$, $\int \frac{2x}{x^2 + 4}\,dx = \ln(x^2 + 4) + C$. No hace falta el valor absoluto porque $x^2 + 4 > 0$.

## Errores comunes

1. **Separar el logaritmo de una suma.** $\ln(x + 1) \ne \ln x + \ln 1$.
2. **Escribir $\frac{d}{dx}\ln(5x) = \frac{1}{5x}$.** La regla de la cadena da $\frac{5}{5x} = \frac{1}{x}$.
3. **Escribir $\int \ln x\,dx = \frac{1}{x} + C$.** Esa es la derivada, no la integral.
4. **Confundir $\ln x^2$ con $(\ln x)^2$.** La primera es $2\ln x$; la segunda es un cuadrado.
5. **Tomar $\ln$ de $0$ o de un número negativo.** Revisa el dominio, sobre todo después de una sustitución.

## Cómo se relaciona

Tomar $\ln$ en ambos lados convierte productos y potencias difíciles en sumas, la idea detrás de la [derivación logarítmica](/rules/logarithmic-differentiation). Los logaritmos en otras bases son simplemente logaritmos naturales reescalados; consulta las [funciones logarítmicas](/functions/logarithmic-functions). Para practicar con más ejemplos resueltos, lee la guía de [derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas](/blog/derivatives-of-exponential-and-logarithmic-functions).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la derivada de ln x?

La derivada de $\ln x$ es $\frac{1}{x}$ para $x > 0$. En general, $\frac{d}{dx}\ln|x| = \frac{1}{x}$ para todo $x \ne 0$.

### ¿Cuál es la integral de ln x?

Usa integración por partes con $u = \ln x$ y $dv = dx$: $\int \ln x\,dx = x\ln x - x + C$.

### ¿Qué diferencia hay entre ln y log?

$\ln x$ es el logaritmo en base $e \approx 2.718$. En la mayoría de los libros de cálculo $\log x$ significa base $10$, aunque algunos textos avanzados también usan $\log$ para la base $e$.

### ¿Cuál es la derivada de ln(2x)?

Por la regla de la cadena, $\frac{d}{dx}\ln(2x) = \frac{2}{2x} = \frac{1}{x}$. De forma equivalente, $\ln(2x) = \ln 2 + \ln x$, y la constante $\ln 2$ tiene derivada $0$.

### ¿Por qué no está definido el logaritmo natural de un número negativo?

Porque $e^y$ es positivo para todo $y$ real, ninguna potencia real de $e$ es igual a un número negativo ni a cero. Por eso $\ln x$ solo está definido para $x > 0$.