# Integral de 1/(1+x²): fórmula, pasos y ejemplos

> La integral de 1/(1+x²) es arctan x + C. Descubre por qué con un cambio a tangente, la versión 1/(a²+x²), una gráfica y ejemplos resueltos.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/integrales/integral-de-1-entre-1-mas-x2
Actualizado: 2026-11-06

$$ \int \frac{1}{1+x^2}\,dx = \arctan x + C $$

## De un vistazo

- **Antiderivada:** $\arctan x + C$
- **Forma general:** $\displaystyle\int \frac{dx}{a^2+x^2} = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + C$
- **Método:** Cambio $x = \tan\theta$, o reconocer la derivada de arctan
- **De 0 a 1:** $\dfrac{\pi}{4}$
- **En toda la recta:** $\pi$

## Ideas clave

- La integral de $\frac{1}{1+x^2}$ es $\arctan x + C$, porque la derivada de $\arctan x$ es $\frac{1}{1+x^2}$.
- Para una constante $a > 0$, $\int \frac{dx}{a^2+x^2} = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + C$. No olvides el $\frac{1}{a}$ delante.
- Si hay una $x$ en el numerador, como en $\frac{x}{1+x^2}$, el resultado es un logaritmo, no una arcotangente.
- Polinomios de segundo grado como $x^2 + 2x + 5$ se convierten en integrales de arcotangente al completar el cuadrado.

La **integral de $\dfrac{1}{1+x^2}$ es $\arctan x + C$**. Es una de las pocas integrales que conviene reconocer a primera vista, porque convierte una función racional sencilla en un ángulo.

$$\int \frac{1}{1+x^2}\,dx = \arctan x + C$$

La versión más general, para cualquier constante $a > 0$, es

$$\int \frac{1}{a^2+x^2}\,dx = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + C$$

## Gráfica de 1/(1+x²) y su antiderivada

```graph
title: 'y = 1/(1+x²) con el área de 0 a 1 sombreada'
caption: 'El área sombreada es $\arctan 1 - \arctan 0 = \frac{\pi}{4} \approx 0.785$. La curva discontinua es la antiderivada $\arctan x$, que se estabiliza en $\pm\frac{\pi}{2}$.'
x: [-5, 5]
y: [-2, 2]
functions:
  - expr: 1/(1+x^2)
    label: y = 1/(1+x²)
  - expr: arctan(x)
    label: y = arctan x (antiderivada)
    dashed: true
shade:
  expr: 1/(1+x^2)
  from: 0
  to: 1
points:
  - [0, 1, '(0, 1)']
```

La curva $\frac{1}{1+x^2}$ es positiva en todas partes, así que su antiderivada siempre es creciente. Además se aplana rápido, y por eso $\arctan x$ se acerca a las rectas horizontales $y = \pm\frac{\pi}{2}$.

## Cómo integrar 1/(1+x²) paso a paso

Basta con reconocer la [derivada de arctan x](/derivatives/arctan-x). Si quieres ver de dónde sale el resultado, haz el cambio $x = \tan\theta$.

1. Sea $x = \tan\theta$, de modo que $dx = \sec^2\theta\,d\theta$.
2. Usa la identidad $1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$:
$$\int \frac{\sec^2\theta}{1+\tan^2\theta}\,d\theta = \int \frac{\sec^2\theta}{\sec^2\theta}\,d\theta = \int 1\,d\theta = \theta + C$$
3. Vuelve a $x$. Como $x = \tan\theta$, tenemos $\theta = \arctan x$.

Para $\frac{1}{a^2+x^2}$, saca factor común $a^2$ y haz el cambio $u = \frac{x}{a}$, $dx = a\,du$:

$$\int \frac{dx}{a^2\left(1 + \frac{x^2}{a^2}\right)} = \frac{1}{a^2}\int \frac{a\,du}{1+u^2} = \frac{1}{a}\arctan u + C = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + C$$

Es la misma idea que la [sustitución trigonométrica](/blog/trig-substitution), en su forma más sencilla.

## Comprobación derivando

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}\right) = \frac{1}{a}\cdot\frac{1}{1 + \frac{x^2}{a^2}}\cdot\frac{1}{a} = \frac{1}{a^2 + x^2}$$

Con $a = 1$ se recupera $\frac{1}{1+x^2}$.

## Integrales definidas

| Integral | Valor |
| --- | --- |
| $\int_0^1 \frac{dx}{1+x^2}$ | $\frac{\pi}{4} \approx 0.785$ |
| $\int_{-1}^{1} \frac{dx}{1+x^2}$ | $\frac{\pi}{2}$ |
| $\int_0^{\sqrt{3}} \frac{dx}{1+x^2}$ | $\frac{\pi}{3}$ |
| $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{1+x^2}$ | $\pi$ |

La última es una [integral impropia](/blog/improper-integrals). Converge aunque el intervalo sea infinito, porque $\frac{1}{1+x^2}$ decrece como $\frac{1}{x^2}$.

## Ejemplos resueltos

**Ejemplo 1: una constante distinta de 1.** $\displaystyle\int \frac{dx}{9 + x^2}$. Aquí $a = 3$:

$$\int \frac{dx}{9+x^2} = \frac{1}{3}\arctan\frac{x}{3} + C$$

**Ejemplo 2: un coeficiente en x².** $\displaystyle\int \frac{dx}{1 + 4x^2}$. Sea $u = 2x$, $du = 2\,dx$:

$$\frac{1}{2}\int \frac{du}{1+u^2} = \frac{1}{2}\arctan(2x) + C$$

**Ejemplo 3: completar el cuadrado.** $\displaystyle\int \frac{dx}{x^2 + 2x + 5}$. Escribe $x^2 + 2x + 5 = (x+1)^2 + 4$ y usa $a = 2$ con $u = x + 1$:

$$\int \frac{dx}{(x+1)^2 + 4} = \frac{1}{2}\arctan\frac{x+1}{2} + C$$

**Ejemplo 4: separar el numerador.** $\displaystyle\int \frac{x + 3}{x^2 + 1}\,dx$. Sepárala en dos integrales conocidas:

$$\int \frac{x}{x^2+1}\,dx + 3\int \frac{dx}{x^2+1} = \frac{1}{2}\ln(x^2+1) + 3\arctan x + C$$

La primera parte se trata en la página de la [integral de x/(x²+1)](/integrals/x-over-x-squared-plus-1).

## Errores comunes

1. **Escribir $\ln(1 + x^2)$.** Esa es la antiderivada de $\frac{2x}{1+x^2}$, no de $\frac{1}{1+x^2}$. Sin una $x$ arriba no hay $du$ para un cambio de variable logarítmico.
2. **Olvidar el $\frac{1}{a}$.** $\int \frac{dx}{4+x^2}$ es $\frac{1}{2}\arctan\frac{x}{2}$, no $\arctan\frac{x}{2}$. Deriva tu resultado para detectarlo.
3. **Confundirla con $\frac{1}{1-x^2}$.** Un signo menos lo cambia todo. $\frac{1}{1-x^2}$ necesita [fracciones parciales](/blog/partial-fractions) y da logaritmos; consulta la [integral de 1/(x²−1)](/integrals/1-over-x-squared-minus-1).
4. **Usar grados.** $\arctan 1 = \frac{\pi}{4}$, no $45$. En cálculo siempre se usan radianes.

Para la función inversa en sí, consulta la página de la [arcotangente](/functions/arctangent). Para integrar $\arctan x$ (en lugar de obtenerla como resultado), consulta la [integral de arctan x](/integrals/arctan-x).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la integral de 1/(1+x²)?

Es $\arctan x + C$, también escrito $\tan^{-1} x + C$.

### ¿Cuál es la integral de 1/(a²+x²)?

Es $\frac{1}{a}\arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C$ para $a > 0$. Por ejemplo, $\int \frac{dx}{4+x^2} = \frac{1}{2}\arctan\frac{x}{2} + C$.

### ¿Cuál es la integral de x/(1+x²)?

Es $\frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C$. Sea $u = 1 + x^2$, de modo que $du = 2x\,dx$. La $x$ extra en el numerador cambia el resultado de una arcotangente a un logaritmo.

### ¿Cuánto vale la integral de 1/(1+x²) de menos infinito a infinito?

Vale $\pi$. La antiderivada $\arctan x$ va de $-\frac{\pi}{2}$ a $\frac{\pi}{2}$, así que el área total es $\frac{\pi}{2} - \left(-\frac{\pi}{2}\right) = \pi$.