# Integral de 1/√(1−x²): fórmula, pasos y ejemplos

> La integral de 1/√(1−x²) es arcsen x + C. El cambio a seno, la versión 1/√(a²−x²), una gráfica, integrales definidas y ejemplos resueltos.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/integrales/integral-de-1-entre-raiz-de-1-menos-x2
Actualizado: 2026-11-06

$$ \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = \arcsin x + C $$

## De un vistazo

- **Antiderivada:** $\arcsin x + C$
- **Forma general:** $\displaystyle\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}} = \arcsin\frac{x}{a} + C$
- **Válida para:** $-1 < x < 1$ (o $\lvert x\rvert < a$)
- **Método:** Cambio $x = \sin\theta$
- **De 0 a 1:** $\dfrac{\pi}{2}$ (una integral impropia convergente)

## Ideas clave

- La integral de $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ es $\arcsin x + C$, válida para $-1 < x < 1$.
- Para $a > 0$, $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}} = \arcsin\frac{x}{a} + C$. A diferencia de la fórmula de la arcotangente, no hay $\frac{1}{a}$ delante.
- $-\arccos x + C$ también es un resultado correcto, porque $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$, una constante.
- Si hay una $x$ arriba, como en $\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$, usa en su lugar $u = 1 - x^2$ y obtendrás $-\sqrt{1-x^2} + C$.

La **integral de $\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ es $\arcsin x + C$**. Es la inversa de la [derivada de arcsen x](/derivatives/arcsin-x), y vale en el intervalo $-1 < x < 1$, donde la raíz cuadrada es real y distinta de cero.

$$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = \arcsin x + C$$

Para cualquier constante $a > 0$:

$$\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\,dx = \arcsin\frac{x}{a} + C$$

## Gráfica de 1/√(1−x²)

```graph
title: 'y = 1/√(1−x²) con el área de 0 a 1/2 sombreada'
caption: 'El área sombreada es $\arcsin\frac{1}{2} - \arcsin 0 = \frac{\pi}{6} \approx 0.524$. La curva se dispara en $x = \pm 1$, pero el área total de $-1$ a $1$ sigue siendo finita: $\pi$.'
x: [-1.5, 1.5]
y: [-0.5, 5]
functions:
  - expr: 1/sqrt(1-x^2)
    label: y = 1/√(1−x²)
    domain: [-0.98, 0.98]
shade:
  expr: 1/sqrt(1-x^2)
  from: 0
  to: 0.5
vertical:
  - x: -1
    label: x = −1
  - x: 1
    label: x = 1
points:
  - [0, 1, '(0, 1)']
```

## Cómo integrar 1/√(1−x²) paso a paso

La raíz cuadrada de $1 - x^2$ recuerda a la identidad pitagórica $1 - \sin^2\theta = \cos^2\theta$, así que haz el cambio $x = \sin\theta$.

1. Sea $x = \sin\theta$ con $-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$. Entonces $dx = \cos\theta\,d\theta$.
2. Simplifica la raíz. En este intervalo $\cos\theta > 0$, así que $\sqrt{1 - \sin^2\theta} = \cos\theta$.
3. Integra:
$$\int \frac{\cos\theta\,d\theta}{\cos\theta} = \int 1\,d\theta = \theta + C$$
4. Vuelve a $x$: $\theta = \arcsin x$.

Para $\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}$, usa $x = a\sin\theta$. Entonces $dx = a\cos\theta\,d\theta$ y $\sqrt{a^2 - a^2\sin^2\theta} = a\cos\theta$. Los dos factores $a$ se cancelan, y por eso el resultado no lleva $\frac{1}{a}$ delante. Es el primer caso de [sustitución trigonométrica](/blog/trig-substitution).

## Comprobación derivando

$$\frac{d}{dx}\arcsin\frac{x}{a} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}}}\cdot\frac{1}{a} = \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}$$

El paso usa $a\sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}} = \sqrt{a^2 - x^2}$, que se cumple porque $a > 0$.

## Integrales definidas

| Integral | Valor |
| --- | --- |
| $\int_0^{1/2} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$ | $\frac{\pi}{6}$ |
| $\int_0^{\sqrt{2}/2} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$ | $\frac{\pi}{4}$ |
| $\int_0^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$ | $\frac{\pi}{2}$ |
| $\int_{-1}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$ | $\pi$ |

Las dos últimas son [integrales impropias](/blog/improper-integrals), ya que el integrando no está acotado en $x = \pm 1$. Aun así convergen, porque el crecimiento es solo del orden de $\frac{1}{\sqrt{1-x}}$.

## Ejemplos resueltos

**Ejemplo 1.** $\displaystyle\int \frac{dx}{\sqrt{9 - x^2}} = \arcsin\frac{x}{3} + C$, usando $a = 3$.

**Ejemplo 2: un coeficiente en x².** $\displaystyle\int \frac{dx}{\sqrt{1 - 4x^2}}$. Sea $u = 2x$, $du = 2\,dx$:

$$\frac{1}{2}\int \frac{du}{\sqrt{1-u^2}} = \frac{1}{2}\arcsin(2x) + C$$

**Ejemplo 3: completar el cuadrado.** $\displaystyle\int \frac{dx}{\sqrt{4x - x^2}}$. Escribe $4x - x^2 = 4 - (x - 2)^2$ y usa $a = 2$ y $u = x - 2$:

$$\int \frac{dx}{\sqrt{4 - (x-2)^2}} = \arcsin\frac{x-2}{2} + C$$

**Ejemplo 4: una integral definida.** $\displaystyle\int_0^{3} \frac{dx}{\sqrt{36 - x^2}} = \arcsin\frac{3}{6} - \arcsin 0 = \frac{\pi}{6}$.

## Errores comunes

1. **Añadir un $\frac{1}{a}$.** Ese factor pertenece a la fórmula de la arcotangente, $\int \frac{dx}{a^2+x^2} = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}$. La del arcoseno no lo lleva. Compárala con la [integral de 1/(1+x²)](/integrals/1-over-1-plus-x-squared).
2. **Recurrir al arcoseno cuando hay una $x$ arriba.** $\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx$ es un [cambio de variable](/rules/u-substitution-rule) normal con resultado $-\sqrt{1-x^2} + C$.
3. **Confundir $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ con $\sqrt{1-x^2}$.** La raíz sola da una integral más larga; consulta la [integral de √(1−x²)](/integrals/sqrt-1-minus-x-squared).
4. **Usar la fórmula fuera de $\lvert x\rvert < a$.** Para $\lvert x\rvert > a$ la raíz no es real. Integrales como $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-1}}$ dan en cambio $\ln\lvert x + \sqrt{x^2-1}\rvert$.

Para integrar la propia función arcoseno, consulta la [integral de arcsen x](/integrals/arcsin-x). La página del [arcoseno](/functions/arcsine) trata su dominio y su gráfica.

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la integral de 1/√(1−x²)?

Es $\arcsin x + C$, también escrito $\sin^{-1} x + C$.

### ¿Cuál es la integral de 1/√(a²−x²)?

Es $\arcsin\left(\frac{x}{a}\right) + C$ para $a > 0$. Por ejemplo, $\int \frac{dx}{\sqrt{4-x^2}} = \arcsin\frac{x}{2} + C$.

### ¿La integral de 1/√(1−x²) es arcsen x o −arccos x?

Las dos son correctas. Difieren en la constante $\frac{\pi}{2}$, y una antiderivada solo está definida salvo una constante. La mayoría de los libros escriben $\arcsin x$.

### ¿Cuál es la integral de x/√(1−x²)?

Es $-\sqrt{1-x^2} + C$. Sea $u = 1 - x^2$, $du = -2x\,dx$, así que la integral se convierte en $-\frac{1}{2}\int u^{-1/2}\,du = -\sqrt{u} + C$.