# Integral de 1/x²: fórmula, deducción y ejemplos

> La integral de 1/x² es -1/x + C. Escríbela como x^(-2), comprueba derivando y mira integrales impropias de 1 a infinito y la clásica trampa de -1 a 1.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/integrales/integral-de-1-entre-x-al-cuadrado
Actualizado: 2026-11-06

$$ \int \frac{1}{x^2}\,dx = -\frac{1}{x} + C $$

## De un vistazo

- **Antiderivada:** $-\dfrac{1}{x} + C$
- **Reescribe primero:** $\dfrac{1}{x^2} = x^{-2}$
- **Válida para:** $x \ne 0$
- **Integral impropia:** $\int_1^\infty \dfrac{1}{x^2}\,dx = 1$
- **Comprobación:** $\dfrac{d}{dx}\left(-\dfrac{1}{x}\right) = \dfrac{1}{x^2}$

## Ideas clave

- La integral de $\frac{1}{x^2}$ es $-\frac{1}{x} + C$. Es una potencia, no un logaritmo.
- Escríbela como $x^{-2}$, sube la potencia a $-1$ y divide entre $-1$.
- La integral impropia $\int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx$ converge a $1$.
- No puedes integrar $\frac{1}{x^2}$ atravesando $x = 0$. $\int_{-1}^{1}\frac{1}{x^2}\,dx$ diverge.

La **integral de $\dfrac{1}{x^2}$ es $-\dfrac{1}{x} + C$**. A diferencia de $\frac{1}{x}$, esta se resuelve con la regla de la potencia inversa de siempre.

$$\int \frac{1}{x^2}\,dx = \int x^{-2}\,dx = -\frac{1}{x} + C$$

## Gráfica de 1/x² y el área bajo ella

```graph
title: 'Área bajo y = 1/x² entre 1 y 3, con la antiderivada y = -1/x'
caption: 'El área sombreada es $-\frac{1}{3} - (-1) = \frac{2}{3}$. La curva discontinua $y = -\frac{1}{x}$ siempre sube, porque $\frac{1}{x^2}$ siempre es positiva.'
x: [-0.5, 5]
y: [-2.5, 3]
functions:
  - expr: 1/x^2
    label: y = 1/x²
    domain: [0.58, 5]
  - expr: -1/x
    label: y = -1/x (antiderivada)
    dashed: true
    domain: [0.4, 5]
shade: {expr: 1/x^2, from: 1, to: 3}
points:
  - [1, 1, '(1, 1)']
  - [3, -0.333, '(3, -1/3)']
```

## Deducción paso a paso

1. Escríbela como potencia: $\frac{1}{x^2} = x^{-2}$.
2. Aplica la [regla de la potencia inversa](/rules/reverse-power-rule) con $n = -2$.
3. Suma uno al exponente: $-2 + 1 = -1$.
4. Divide entre $-1$: $\frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}$.
5. Añade $C$.

## Comprobación derivando

$$\frac{d}{dx}\left(-x^{-1}\right) = -(-1)x^{-2} = \frac{1}{x^2} \checkmark$$

La regla en sentido directo está en la página de la [derivada de 1/x²](/derivatives/1-over-x-squared), y la página de la [derivada de 1/x](/derivatives/1-over-x) muestra que $\frac{d}{dx}\frac{1}{x} = -\frac{1}{x^2}$, que es el mismo hecho leído al revés.

## Integrales impropias

El área bajo $\frac{1}{x^2}$ hasta el infinito es finita:

$$\int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx = \lim_{b\to\infty}\left[-\frac{1}{x}\right]_1^b = \lim_{b\to\infty}\left(1 - \frac{1}{b}\right) = 1$$

Compárala con $\int_1^\infty \frac{1}{x}\,dx$, que diverge porque $\ln b \to \infty$. Este contraste es el origen del criterio $p$ para integrales y series. La lección sobre [límites de integración infinitos](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/infinite-limits-of-integration) lo trata en detalle.

Cerca de cero la situación se invierte: $\int_0^1 \frac{1}{x^2}\,dx = \lim_{a\to 0^+}\left(\frac{1}{a} - 1\right) = \infty$.

## La trampa clásica: integrar atravesando el cero

Sustituir en la antiderivada da

$$\left[-\frac{1}{x}\right]_{-1}^{1} = -1 - 1 = -2$$

Pero $\frac{1}{x^2}$ es positiva en todas partes, así que su integral no puede ser negativa. El error es que $\frac{1}{x^2}$ tiene una asíntota vertical en $x = 0$, por lo que el [Teorema Fundamental del Cálculo](/theorems/fundamental-theorem-of-calculus-part-2) no se aplica en $[-1, 1]$. Divide la integral en $0$: cada mitad diverge, así que la integral completa diverge.

## Variante por sustitución

Con $u = ax + b$:

$$\int \frac{1}{(ax + b)^2}\,dx = -\frac{1}{a(ax + b)} + C$$

Por ejemplo, $\int \frac{1}{(2x + 1)^2}\,dx = -\frac{1}{2(2x + 1)} + C$. Comprobación: la derivada es $\frac{1}{2}(2x + 1)^{-2}\cdot 2 = \frac{1}{(2x + 1)^2}$.

## Ejemplos resueltos

**Ejemplo 1.** $\int \frac{3}{x^2}\,dx = -\frac{3}{x} + C$.

**Ejemplo 2.** $\int \frac{x + 1}{x^2}\,dx = \int\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}\right)dx = \ln\lvert x\rvert - \frac{1}{x} + C$. Primero separa y luego usa la [integral de 1/x](/integrals/1-over-x) para el primer término.

**Ejemplo 3.** $\int_2^4 \frac{1}{x^2}\,dx = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.

**Ejemplo 4.** $\int \frac{1}{x^3}\,dx = \frac{x^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2x^2} + C$.

## Errores comunes

1. **Escribir $\ln(x^2)$.** El logaritmo solo aparece con $\frac{1}{x}$.
2. **Escribir $-\frac{1}{x^3}$ o $\frac{1}{x}$.** El exponente sube en uno ($-2 \to -1$), y se divide entre $-1$, lo que cambia el signo.
3. **Integrar atravesando una asíntota.** Comprueba siempre si hay divisiones entre cero dentro del intervalo.
4. **Escribir $\frac{1}{3x^3}$** tratando $\frac{1}{x^2}$ como $(x^2)$ e integrando eso. Escríbela primero como $x^{-2}$.

Prueba los [ejercicios de integrales impropias](/practice-problems/improper-integrals) para practicar el caso infinito.

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la integral de 1/x²?

La integral de $\frac{1}{x^2}$ es $-\frac{1}{x} + C$.

### ¿Cuánto vale la integral de 1/x² de 1 a infinito?

Vale $1$. La antiderivada $-\frac{1}{x}$ pasa de $-1$ en $x = 1$ a $0$ cuando $x \to \infty$, un cambio de $1$.

### ¿Por qué la integral de 1/x² entre -1 y 1 no es -2?

Al sustituir se obtiene $-1 - 1 = -2$, pero es incorrecto. $\frac{1}{x^2}$ se dispara en $x = 0$, así que el Teorema Fundamental no se aplica. En realidad la integral diverge a infinito.

### ¿La integral de 1/x² es ln(x²)?

No. El $\ln$ solo aparece con $\frac{1}{x}$. Para $\frac{1}{x^2}$ funciona la regla de la potencia inversa, que da $-\frac{1}{x} + C$.