# Integral de 1/(x ln x): fórmula, pasos y ejemplos

> La integral de 1/(x ln x) es ln|ln x| + C. El cambio u = ln x, por qué su integral impropia diverge, una gráfica y ejemplos resueltos.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/integrales/integral-de-1-entre-x-ln-x
Actualizado: 2026-11-06

$$ \int \frac{1}{x\ln x}\,dx = \ln\lvert\ln x\rvert + C $$

## De un vistazo

- **Antiderivada:** $\ln\lvert\ln x\rvert + C$
- **Método:** Cambio $u = \ln x$, $du = \frac{1}{x}\,dx$
- **Dominio:** $x > 0$, $x \ne 1$
- **De e a e²:** $\ln 2 \approx 0.693$
- **De 2 a ∞:** Diverge

## Ideas clave

- La integral de $\frac{1}{x\ln x}$ es $\ln\lvert\ln x\rvert + C$.
- Haz el cambio $u = \ln x$. El $\frac{1}{x}$ del integrando es exactamente $du$, y la integral se convierte en $\int\frac{du}{u}$.
- $\int_2^\infty\frac{dx}{x\ln x}$ diverge, pero muy despacio. Por el criterio de la integral, también diverge $\sum\frac{1}{n\ln n}$.
- Con un cuadrado, $\int_2^\infty\frac{dx}{x(\ln x)^2} = \frac{1}{\ln 2}$ converge.

La **integral de $\dfrac{1}{x\ln x}$ es $\ln\lvert\ln x\rvert + C$**. Es un ejemplo de manual de un cambio de variable que está a la vista: el $\frac{1}{x}$ es la derivada del $\ln x$ que tiene al lado.

$$\int \frac{1}{x\ln x}\,dx = \ln\lvert\ln x\rvert + C$$

El integrando está definido para $x > 0$ con $x \ne 1$, ya que $\ln 1 = 0$ anularía el denominador.

## Gráfica de 1/(x ln x)

```graph
title: 'y = 1/(x ln x) con el área de e a e² sombreada'
caption: 'El área sombreada es $\ln(\ln e^2) - \ln(\ln e) = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2 \approx 0.693$. La curva tiene una asíntota vertical en $x = 1$ y decrece muy despacio hacia la derecha.'
x: [0, 9]
y: [-1, 5]
functions:
  - expr: 1/(x*ln(x))
    label: y = 1/(x ln x)
    domain: [1.2, 9]
shade:
  expr: 1/(x*ln(x))
  from: 2.71828
  to: 7.38906
vertical:
  - x: 1
    label: x = 1
```

## Cómo integrar 1/(x ln x) paso a paso

1. **Detecta la pareja.** Escribe el integrando como $\frac{1}{\ln x}\cdot\frac{1}{x}$. El segundo factor es la derivada de $\ln x$.
2. **Haz el cambio.** Sea $u = \ln x$, de modo que $du = \frac{1}{x}\,dx$:
$$\int\frac{1}{\ln x}\cdot\frac{1}{x}\,dx = \int\frac{1}{u}\,du$$
3. **Integra.** $\int\frac{du}{u} = \ln\lvert u\rvert + C$, por la [integral de 1/x](/integrals/1-over-x).
4. **Deshaz el cambio.** $\ln\lvert\ln x\rvert + C$.

El valor absoluto importa en $0 < x < 1$, donde $\ln x$ es negativo. Para $x > 1$ puedes quitarlo y escribir $\ln(\ln x)$.

Aquí actúa la [regla de sustitución](/rules/u-substitution-rule). Siempre que veas $\frac{1}{x}$ multiplicado por alguna función de $\ln x$, prueba con $u = \ln x$.

## Comprobación derivando

Usa la [regla de la cadena](/rules/chain-rule) dos veces:

$$\frac{d}{dx}\ln(\ln x) = \frac{1}{\ln x}\cdot\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{\ln x}\cdot\frac{1}{x} = \frac{1}{x\ln x}$$

## Integrales definidas e impropias

**De e a e²:** $\ln(\ln e^2) - \ln(\ln e) = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2$.

**De e a e^e:** $\ln(e) - \ln(1) = 1$. Cada tramo de la forma $[e^{a}, e^{ea}]$ añade la misma área, $1$.

**De 2 a ∞:** esta [integral impropia](/blog/improper-integrals) diverge.

$$\int_2^\infty\frac{dx}{x\ln x} = \lim_{b\to\infty}\Big(\ln(\ln b) - \ln(\ln 2)\Big) = \infty$$

El crecimiento es desesperadamente lento. Incluso en $b = 10^{100}$, $\ln(\ln b) \approx \ln 230.3 \approx 5.44$. Una calculadora nunca te convencería de que diverge, pero la antiderivada lo demuestra.

**El criterio de la integral.** Como esta integral diverge, el [criterio de la integral](/learn/calculus-2/sequences-and-series/integral-test-and-p-series) dice que la serie $\sum_{n=2}^\infty\frac{1}{n\ln n}$ también diverge, aunque sus términos decrezcan más rápido que $\frac{1}{n}$.

## Ejemplos resueltos

**Ejemplo 1: un logaritmo al cuadrado.** $\displaystyle\int_2^\infty\frac{dx}{x(\ln x)^2}$. Con $u = \ln x$, la antiderivada es $-\frac{1}{\ln x}$:

$$\lim_{b\to\infty}\left(-\frac{1}{\ln b} + \frac{1}{\ln 2}\right) = \frac{1}{\ln 2} \approx 1.443$$

Esta sí converge. Basta una potencia más de $\ln x$.

**Ejemplo 2: logaritmo arriba.** $\displaystyle\int\frac{\ln x}{x}\,dx = \int u\,du = \frac{(\ln x)^2}{2} + C$.

**Ejemplo 3: una potencia del logaritmo.** $\displaystyle\int\frac{dx}{x\sqrt{\ln x}} = \int u^{-1/2}\,du = 2\sqrt{\ln x} + C$, para $x > 1$.

**Ejemplo 4: una constante dentro.** $\displaystyle\int\frac{dx}{x\ln(5x)}$. Aquí también $\frac{d}{dx}\ln(5x) = \frac{1}{x}$, así que el resultado es $\ln\lvert\ln(5x)\rvert + C$.

**Ejemplo 5: una capa más.** $\displaystyle\int\frac{dx}{x\ln x\,\ln(\ln x)} = \ln\lvert\ln(\ln x)\rvert + C$, usando $u = \ln(\ln x)$.

## Errores comunes

1. **Separar en $\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{\ln x}$ e integrar cada factor.** Un producto no se integra factor a factor. $\ln x\cdot\ln\lvert\ln x\rvert$ es incorrecto.
2. **Usar integración por partes.** Se puede, pero no lleva a nada útil. El cambio de variable lo resuelve en una línea.
3. **Escribir $\ln\lvert x\ln x\rvert$.** Esa es la antiderivada de $\frac{\ln x + 1}{x\ln x}$, no de $\frac{1}{x\ln x}$.
4. **Integrar atravesando $x = 1$.** El integrando se dispara ahí, así que $\int_{1/2}^{2}\frac{dx}{x\ln x}$ no es una integral normal.

La [integral de ln x](/integrals/ln-x) y la [integral de x ln x](/integrals/x-ln-x) tratan las otras integrales con logaritmos más comunes. Para más sobre este tipo de cambio de variable, consulta la [guía del cambio de variable](/blog/u-substitution) y los [ejercicios de cambio de variable](/practice-problems/u-substitution).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la integral de 1/(x ln x)?

Es $\ln\lvert\ln x\rvert + C$. Para $x > 1$, donde $\ln x > 0$, es simplemente $\ln(\ln x) + C$.

### ¿Converge la integral de 1/(x ln x) de 2 a infinito?

No. $\ln(\ln b) - \ln(\ln 2) \to \infty$ cuando $b \to \infty$, así que la integral diverge. Crece muy despacio: en $b = 10^{100}$ la antiderivada vale solo unos $5.4$.

### ¿Cuál es la integral de ln x / x?

Es $\frac{(\ln x)^2}{2} + C$. El mismo cambio $u = \ln x$ la convierte en $\int u\,du$.

### ¿Cuál es la integral de 1/(x (ln x)²)?

Es $-\frac{1}{\ln x} + C$. Con $u = \ln x$ se convierte en $\int u^{-2}\,du = -u^{-1} + C$.