# Integral de 1/x: fórmula, deducción y ejemplos

> La integral de 1/x es ln|x| + C. Descubre por qué falla la regla de la potencia, de dónde sale el valor absoluto y cómo resolver 1/(ax + b) y f'/f.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/integrales/integral-de-1-entre-x
Actualizado: 2026-11-06

$$ \int \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C $$

## De un vistazo

- **Antiderivada:** $\ln\lvert x\rvert + C$
- **Válida para:** $x \ne 0$
- **Forma lineal:** $\int \dfrac{1}{ax + b}\,dx = \dfrac{1}{a}\ln\lvert ax + b\rvert + C$
- **Forma logarítmica:** $\int \dfrac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \ln\lvert f(x)\rvert + C$
- **Área de 1 a e:** $1$

## Ideas clave

- La integral de $\frac{1}{x}$ es $\ln\lvert x\rvert + C$, no una potencia de $x$.
- La regla de la potencia inversa falla en $n = -1$ porque obligaría a dividir entre cero.
- El valor absoluto hace que la fórmula también funcione para $x$ negativo.
- En general, $\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \ln\lvert f(x)\rvert + C$.

La **integral de $\dfrac{1}{x}$ es $\ln\lvert x\rvert + C$**. Es la única potencia de $x$ que la regla de la potencia inversa no puede resolver, y el logaritmo natural cubre ese hueco.

$$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C, \qquad x \ne 0$$

## Gráfica de 1/x y su antiderivada

```graph
title: 'Área bajo y = 1/x entre 1 y e, con la antiderivada y = ln|x|'
caption: 'El área sombreada entre $x = 1$ y $x = e$ es exactamente $1$. Esta es una forma de definir el número $e$. La curva discontinua $y = \ln\lvert x\rvert$ es la antiderivada a ambos lados de $0$.'
x: [-4, 4]
y: [-3, 3]
functions:
  - expr: 1/x
    label: y = 1/x
    domain: [0.25, 4]
  - expr: 1/x
    label: y = 1/x (x < 0)
    domain: [-4, -0.25]
  - expr: ln(abs(x))
    label: y = ln|x| (antiderivada)
    dashed: true
    domain: [-4, 4]
shade: {expr: 1/x, from: 1, to: 2.71828}
points:
  - [2.71828, 1, '(e, 1)']
```

A la derecha, $\frac{1}{x} > 0$ y $\ln x$ crece. A la izquierda, $\frac{1}{x} < 0$ y $\ln\lvert x\rvert$ decrece al avanzar hacia la derecha. En los dos casos las pendientes coinciden con las alturas.

## Por qué falla la regla de la potencia

La [regla de la potencia inversa](/rules/reverse-power-rule) dice que $\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$. Para $\frac{1}{x} = x^{-1}$ daría $\frac{x^0}{0}$, que no está definido. Ninguna potencia de $x$ tiene derivada $x^{-1}$, porque la derivada de $x^0 = 1$ es $0$.

La función que sí tiene derivada $\frac{1}{x}$ es el logaritmo natural. La página de la [derivada de ln x](/derivatives/ln-x) demuestra que $\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}$ para $x > 0$.

## De dónde sale el valor absoluto

Para $x < 0$, $\ln x$ no está definido, pero $\ln(-x)$ sí. Derívalo con la regla de la cadena:

$$\frac{d}{dx}\ln(-x) = \frac{1}{-x}\cdot(-1) = \frac{1}{x}$$

Así que $\ln x$ funciona para $x > 0$ y $\ln(-x)$ funciona para $x < 0$. Juntos forman $\ln\lvert x\rvert$.

## Comprobación derivando

Para $x > 0$: $\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}$. Para $x < 0$: $\frac{d}{dx}\ln(-x) = \frac{1}{x}$. Ambos dan $\frac{1}{x}$, así que $\frac{d}{dx}\ln\lvert x\rvert = \frac{1}{x}$ para todo $x \ne 0$.

## Variantes por sustitución

Con $u = ax + b$:

$$\int \frac{1}{ax + b}\,dx = \frac{1}{a}\ln\lvert ax + b\rvert + C$$

En general, siempre que el numerador sea la derivada del denominador, el resultado es un logaritmo:

$$\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \ln\lvert f(x)\rvert + C$$

Este único patrón da la [integral de tan x](/integrals/tan-x), la [integral de cot x](/integrals/cot-x) y la [integral de x/(x² + 1)](/integrals/x-over-x-squared-plus-1).

## Ejemplos resueltos

**Ejemplo 1.** $\int \frac{5}{x}\,dx = 5\ln\lvert x\rvert + C$.

**Ejemplo 2.** $\int \frac{1}{3x - 2}\,dx = \frac{1}{3}\ln\lvert 3x - 2\rvert + C$.

**Ejemplo 3.** $\int \frac{2x + 3}{x^2 + 3x}\,dx = \ln\lvert x^2 + 3x\rvert + C$, ya que el numerador es la derivada del denominador.

**Ejemplo 4: definida, lado positivo.** $\int_1^2 \frac{1}{x}\,dx = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2 \approx 0.693$.

**Ejemplo 5: definida, lado negativo.** $\int_{-3}^{-1} \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert -1\rvert - \ln\lvert -3\rvert = -\ln 3$. El resultado es negativo porque ahí la curva está por debajo del eje.

## Errores comunes

1. **Usar la regla de la potencia.** $\frac{x^0}{0}$ no tiene sentido. Usa $\ln\lvert x\rvert$.
2. **Quitar el valor absoluto** cuando $x$ puede ser negativo.
3. **Integrar atravesando el $0$.** $\int_{-1}^{1}\frac{1}{x}\,dx$ no es $\ln 1 - \ln 1 = 0$. La integral diverge.
4. **Confundirla con $\frac{1}{x^2}$.** $\int \frac{1}{x^2}\,dx = -\frac{1}{x} + C$, no un logaritmo. Consulta la [integral de 1/x²](/integrals/1-over-x-squared).
5. **Olvidar el $\frac{1}{a}$** en $\int \frac{1}{ax + b}\,dx$.

Para una integral con logaritmos que va en sentido contrario, consulta la [integral de ln x](/integrals/ln-x).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la integral de 1/x?

La integral de $\frac{1}{x}$ es $\ln\lvert x\rvert + C$. Para $x > 0$ puedes quitar las barras y escribir $\ln x + C$.

### ¿Por qué hay un valor absoluto en ln|x|?

$\ln x$ solo existe para $x > 0$, pero $\frac{1}{x}$ también existe para $x < 0$. Para $x$ negativo, la derivada de $\ln(-x)$ es $\frac{-1}{-x} = \frac{1}{x}$, así que $\ln\lvert x\rvert$ cubre los dos lados.

### ¿Cuál es la integral de 1/(2x)?

Es $\frac{1}{2}\ln\lvert x\rvert + C$. Escribir $\frac{1}{2}\ln\lvert 2x\rvert + C$ también es correcto, porque solo difiere en la constante $\frac{1}{2}\ln 2$.

### ¿Cuánto vale la integral de 1/x entre -1 y 1?

No existe. $\frac{1}{x}$ tiene una discontinuidad infinita en $0$, y las dos mitades de la integral impropia divergen.