# Integral de 1/(x² - 1): fórmula, fracciones parciales y ejemplos

> La integral de 1/(x² - 1) es ½ ln|(x - 1)/(x + 1)| + C. Los pasos de fracciones parciales, la fórmula general de 1/(x² - a²) e integrales definidas resueltas.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/integrales/integral-de-1-entre-x2-menos-1
Actualizado: 2026-11-06

$$ \int \frac{1}{x^2 - 1}\,dx = \frac{1}{2}\ln\left\lvert\frac{x - 1}{x + 1}\right\rvert + C $$

## De un vistazo

- **Antiderivada:** $\dfrac{1}{2}\ln\left\lvert\dfrac{x - 1}{x + 1}\right\rvert + C$
- **Método:** Fracciones parciales
- **Descomposición:** $\dfrac{1}{x^2 - 1} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{x - 1} - \dfrac{1}{x + 1}\right)$
- **Forma general:** $\int\dfrac{dx}{x^2 - a^2} = \dfrac{1}{2a}\ln\left\lvert\dfrac{x - a}{x + a}\right\rvert + C$
- **No definida en:** $x = \pm 1$

## Ideas clave

- La integral de $\frac{1}{x^2 - 1}$ es $\frac{1}{2}\ln\left\lvert\frac{x - 1}{x + 1}\right\rvert + C$.
- Factoriza el denominador como $(x - 1)(x + 1)$ y descompón en fracciones parciales.
- Un signo menos lo cambia todo: $\int\frac{1}{x^2 + 1}\,dx = \arctan x + C$, pero $\frac{1}{x^2 - 1}$ da logaritmos.
- Nunca integres atravesando $x = 1$ o $x = -1$, donde la función tiene asíntotas verticales.

La **integral de $\dfrac{1}{x^2 - 1}$ es $\dfrac{1}{2}\ln\left\lvert\dfrac{x - 1}{x + 1}\right\rvert + C$**. Es la integral más sencilla que necesita fracciones parciales.

$$\int \frac{1}{x^2 - 1}\,dx = \frac{1}{2}\ln\left\lvert\frac{x - 1}{x + 1}\right\rvert + C$$

## Gráfica de 1/(x² - 1)

```graph
title: 'Gráfica de y = 1/(x² - 1) con el área entre x = 2 y x = 3 sombreada'
caption: 'La función tiene asíntotas verticales en $x = -1$ y $x = 1$. El área sombreada es $\frac{1}{2}\ln\frac{3}{2} \approx 0.203$.'
x: [-4, 4]
y: [-4, 4]
functions:
  - expr: 1/(x^2 - 1)
    label: y = 1/(x² - 1)
shade: {expr: 1/(x^2 - 1), from: 2, to: 3}
vertical:
  - {x: -1, label: 'x = -1'}
  - {x: 1, label: 'x = 1'}
```

Entre las asíntotas la función es negativa, con un máximo de $-1$ en $x = 0$. Fuera de ellas es positiva y decrece hacia $0$.

## Fracciones parciales paso a paso

1. Factoriza el denominador: $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$.
2. Plantea la descomposición: $\dfrac{1}{(x - 1)(x + 1)} = \dfrac{A}{x - 1} + \dfrac{B}{x + 1}$.
3. Quita denominadores: $1 = A(x + 1) + B(x - 1)$.
4. Toma $x = 1$: $1 = 2A$, así que $A = \frac{1}{2}$. Toma $x = -1$: $1 = -2B$, así que $B = -\frac{1}{2}$.
5. Integra cada fracción con la [integral de 1/x](/integrals/1-over-x):

$$\int\left(\frac{1/2}{x - 1} - \frac{1/2}{x + 1}\right)dx = \frac{1}{2}\ln\lvert x - 1\rvert - \frac{1}{2}\ln\lvert x + 1\rvert + C$$

6. Agrupa los logaritmos: $\frac{1}{2}\ln\left\lvert\frac{x - 1}{x + 1}\right\rvert + C$.

La guía de [fracciones parciales](/blog/partial-fractions) también trata los factores repetidos y cuadráticos.

## Comprobación derivando

$$\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{2}\ln\lvert x - 1\rvert - \frac{1}{2}\ln\lvert x + 1\rvert\right] = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}\right) = \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{x^2 - 1} = \frac{1}{x^2 - 1} \checkmark$$

## La fórmula general: 1/(x² - a²)

Los mismos pasos con $(x - a)(x + a)$ dan $A = \frac{1}{2a}$, $B = -\frac{1}{2a}$, así que

$$\int\frac{1}{x^2 - a^2}\,dx = \frac{1}{2a}\ln\left\lvert\frac{x - a}{x + a}\right\rvert + C$$

Por ejemplo, $\int\frac{1}{x^2 - 9}\,dx = \frac{1}{6}\ln\left\lvert\frac{x - 3}{x + 3}\right\rvert + C$.

## Ejemplos resueltos

**Ejemplo 1: integral definida.** Para la región sombreada:

$$\int_2^3\frac{dx}{x^2 - 1} = \frac{1}{2}\ln\frac{2}{4} - \frac{1}{2}\ln\frac{1}{3} = \frac{1}{2}\ln\frac{3}{2} \approx 0.203$$

**Ejemplo 2: integral impropia.** Cuando $x \to \infty$, $\frac{x - 1}{x + 1} \to 1$ y el logaritmo tiende a $0$:

$$\int_2^\infty\frac{dx}{x^2 - 1} = 0 - \frac{1}{2}\ln\frac{1}{3} = \frac{1}{2}\ln 3 \approx 0.549$$

**Ejemplo 3: entre las asíntotas.** $\int_0^{1/2}\frac{dx}{x^2 - 1} = \frac{1}{2}\ln\frac{1/2}{3/2} - 0 = -\frac{1}{2}\ln 3$. Negativa, como anticipa la gráfica.

**Ejemplo 4: el signo invertido.** $\int\frac{1}{1 - x^2}\,dx = -\int\frac{1}{x^2 - 1}\,dx = \frac{1}{2}\ln\left\lvert\frac{1 + x}{1 - x}\right\rvert + C$.

**Ejemplo 5: primero una sustitución.** $\int\frac{\cos x}{\sin^2 x - 1}\,dx$ con $u = \sin x$ se convierte en $\int\frac{du}{u^2 - 1} = \frac{1}{2}\ln\left\lvert\frac{\sin x - 1}{\sin x + 1}\right\rvert + C$.

## Errores comunes

1. **Responder $\arctan x$.** Eso corresponde a $x^2 + 1$. Revisa el signo del denominador.
2. **Responder $\ln\lvert x^2 - 1\rvert$.** El numerador es $1$, no $2x$, así que el patrón $\frac{f'}{f}$ no se aplica. Ese patrón da en cambio la [integral de x/(x² + 1)](/integrals/x-over-x-squared-plus-1).
3. **Equivocarse con el signo de $B$.** Sustituye valores para comprobar la descomposición.
4. **Integrar atravesando $x = \pm 1$.** Esas integrales son impropias y divergen.

Practica con los [ejercicios de fracciones parciales](/practice-problems/partial-fractions).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la integral de 1/(x² - 1)?

Es $\frac{1}{2}\ln\lvert x - 1\rvert - \frac{1}{2}\ln\lvert x + 1\rvert + C$, que se agrupa como $\frac{1}{2}\ln\left\lvert\frac{x - 1}{x + 1}\right\rvert + C$.

### ¿Cuál es la integral de 1/(1 - x²)?

Es la opuesta de la anterior: $\frac{1}{2}\ln\left\lvert\frac{1 + x}{1 - x}\right\rvert + C$. Para $\lvert x\rvert < 1$ es igual a $\operatorname{artanh} x + C$.

### ¿Cuál es la integral de 1/(x² - a²)?

Es $\frac{1}{2a}\ln\left\lvert\frac{x - a}{x + a}\right\rvert + C$, y se obtiene con las mismas fracciones parciales.

### ¿Por qué no da arctan?

$\arctan x$ sale de $\frac{1}{x^2 + 1}$, cuyo denominador nunca se factoriza en los números reales. $x^2 - 1$ sí se factoriza, así que entran en juego las fracciones parciales y los logaritmos.