# Integral de 2ˣ y aˣ: fórmula, pasos y ejemplos

> La integral de 2ˣ es 2ˣ/ln 2 + C, y ∫aˣ dx = aˣ/ln a + C. La deducción a partir de e^(x ln a), una gráfica, integrales definidas y ejemplos.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/integrales/integral-de-2-elevado-a-x
Actualizado: 2026-11-06

$$ \int 2^x\,dx = \frac{2^x}{\ln 2} + C $$

## De un vistazo

- **Antiderivada:** $\dfrac{2^x}{\ln 2} + C$
- **Base general:** $\int a^x\,dx = \dfrac{a^x}{\ln a} + C$ para $a > 0$, $a \ne 1$
- **Método:** Escribe $a^x = e^{x\ln a}$ y luego divide entre $\ln a$
- **De 0 a 1:** $\frac{1}{\ln 2} \approx 1.443$
- **Valor de ln 2:** $\approx 0.6931$

## Ideas clave

- La integral de $2^x$ es $\frac{2^x}{\ln 2} + C$.
- Para cualquier base $a > 0$, $a \ne 1$: $\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$.
- La fórmula sale de escribir $a^x = e^{x\ln a}$ y usar $\int e^{kx}\,dx = \frac{1}{k}e^{kx}$ con $k = \ln a$.
- Cuando $a = e$, $\ln e = 1$ y la fórmula se convierte en $\int e^x\,dx = e^x + C$.

La **integral de $2^x$ es $\dfrac{2^x}{\ln 2} + C$**. Todas las exponenciales $a^x$ se integran igual: conserva la exponencial y divide entre el logaritmo natural de la base.

$$\int 2^x\,dx = \frac{2^x}{\ln 2} + C \qquad\qquad \int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$$

La fórmula general vale para cualquier base $a > 0$ con $a \ne 1$.

## Gráfica de 2ˣ con el área de 0 a 1

```graph
title: 'y = 2ˣ con el área de 0 a 1 sombreada'
caption: 'El área sombreada es $\frac{2 - 1}{\ln 2} = \frac{1}{\ln 2} \approx 1.443$. La curva discontinua es la antiderivada $\frac{2^x}{\ln 2}$, unas $1.44$ veces más alta que $2^x$ en todas partes.'
x: [-3, 3]
y: [-0.5, 9]
functions:
  - expr: 2^x
    label: y = 2ˣ
  - expr: 2^x/ln(2)
    label: y = 2ˣ/ln 2 (antiderivada)
    dashed: true
shade:
  expr: 2^x
  from: 0
  to: 1
points:
  - [0, 1, '(0, 1)']
  - [1, 2, '(1, 2)']
```

## Cómo integrar 2ˣ paso a paso

El truco es pasar a base $e$, ya que ya sabes integrar exponenciales de base $e$.

1. **Reescribe en base $e$.** Como $2 = e^{\ln 2}$, tenemos $2^x = \left(e^{\ln 2}\right)^x = e^{x\ln 2}$.
2. **Integra.** $\ln 2$ es simplemente una constante, aproximadamente $0.693$. Usando $\int e^{kx}\,dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C$ de la página de la [integral de e²ˣ](/integrals/e-to-the-2x):
$$\int e^{x\ln 2}\,dx = \frac{1}{\ln 2}e^{x\ln 2} + C$$
3. **Vuelve a base 2.** $e^{x\ln 2} = 2^x$, así que el resultado es $\frac{2^x}{\ln 2} + C$.

Cambia $2$ por $a$ en todas partes y obtendrás la fórmula general. La base debe ser positiva para que $\ln a$ esté definido, y $a \ne 1$ para que $\ln a \ne 0$. (Para $a = 1$, $1^x = 1$ y $\int 1\,dx = x + C$.)

## Comprobación derivando

La [derivada de 2ˣ](/derivatives/2-to-the-x) es $2^x\ln 2$. Por tanto

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{2^x}{\ln 2}\right) = \frac{2^x\ln 2}{\ln 2} = 2^x$$

## Integrales definidas

| Integral | Cálculo | Valor |
| --- | --- | --- |
| $\int_0^1 2^x\,dx$ | $\frac{2 - 1}{\ln 2}$ | $\approx 1.443$ |
| $\int_0^3 2^x\,dx$ | $\frac{8 - 1}{\ln 2}$ | $\approx 10.099$ |
| $\int_0^2 3^x\,dx$ | $\frac{9 - 1}{\ln 3}$ | $\approx 7.282$ |
| $\int_{-\infty}^{0} 2^x\,dx$ | $\frac{1 - 0}{\ln 2}$ | $\approx 1.443$ |

Compara la segunda fila con una suma: $2^0 + 2^1 + 2^2 = 7$. La integral $\frac{7}{\ln 2}$ es mayor porque el área incluye la subida de la curva entre los enteros. Este contraste entre sumas e integrales vuelve a aparecer en el [criterio de la integral](/learn/calculus-2/sequences-and-series/integral-test-and-p-series).

## Ejemplos resueltos

**Ejemplo 1: base 10.** $\displaystyle\int 10^x\,dx = \frac{10^x}{\ln 10} + C \approx 0.434\cdot 10^x + C$.

**Ejemplo 2: un exponente lineal.** $\displaystyle\int 2^{3x}\,dx$. Sea $u = 3x$, $du = 3\,dx$:

$$\frac{1}{3}\int 2^u\,du = \frac{2^{3x}}{3\ln 2} + C$$

También podrías escribir $2^{3x} = 8^x$ y obtener $\frac{8^x}{\ln 8}$. Como $\ln 8 = 3\ln 2$, los resultados coinciden.

**Ejemplo 3: una fracción como base.** $\displaystyle\int\left(\frac{1}{2}\right)^x dx = \frac{(1/2)^x}{\ln(1/2)} + C = -\frac{2^{-x}}{\ln 2} + C$.

**Ejemplo 4: combinar bases.** $\displaystyle\int 2^x 3^x\,dx = \int 6^x\,dx = \frac{6^x}{\ln 6} + C$.

**Ejemplo 5: un cambio de variable.** $\displaystyle\int x\,2^{x^2}\,dx$. Con $u = x^2$, $du = 2x\,dx$:

$$\frac{1}{2}\int 2^u\,du = \frac{2^{x^2}}{2\ln 2} + C$$

## Errores comunes

1. **Usar la regla de la potencia.** $\int 2^x\,dx \ne \frac{2^{x+1}}{x+1}$. Compárala con $\int x^2\,dx = \frac{x^3}{3}$, donde la variable está en la base; consulta la [integral de x²](/integrals/x-squared).
2. **Multiplicar por $\ln 2$ en lugar de dividir.** Multiplicar es lo que hace la derivada. La integral divide.
3. **Usar $\log_{10}$.** La fórmula necesita el logaritmo natural. $\int 10^x\,dx = \frac{10^x}{\ln 10}$, no $\frac{10^x}{\log 10} = \frac{10^x}{1}$.
4. **Aplicarla a $x^x$.** Cuando la variable está a la vez en la base y en el exponente, no sirve ninguna de las dos reglas, y $\int x^x\,dx$ no tiene resultado elemental.

Consulta la página de [funciones exponenciales](/functions/exponential-functions) para saber más sobre las bases, y la [integral de eˣ](/integrals/e-to-the-x) para el caso particular $a = e$.

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la integral de 2ˣ?

Es $\frac{2^x}{\ln 2} + C$, que es aproximadamente $1.443\cdot 2^x + C$.

### ¿Cuál es la integral de aˣ?

Es $\frac{a^x}{\ln a} + C$ para cualquier base constante $a > 0$ con $a \ne 1$. Por ejemplo, $\int 10^x\,dx = \frac{10^x}{\ln 10} + C$.

### ¿La integral de 2ˣ es 2^(x+1)/(x+1)?

No. Esa es la regla de la potencia, que solo se aplica cuando la variable está en la base, como en $x^2$. En $2^x$ la variable está en el exponente.

### ¿Cuál es la integral de 2^(−x)?

Es $-\frac{2^{-x}}{\ln 2} + C$. Escribe $2^{-x} = \left(\frac{1}{2}\right)^x$ y usa la fórmula con $a = \frac{1}{2}$, donde $\ln\frac{1}{2} = -\ln 2$.