# Integral de arcsen x: fórmula, pasos y ejemplos

> La integral de arcsen x es x arcsen x + √(1−x²) + C. Aprende los pasos de la integración por partes, la versión con arccos, una gráfica y ejemplos resueltos.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/integrales/integral-de-arcsen-x
Actualizado: 2026-11-06

$$ \int \arcsin x\,dx = x\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C $$

## De un vistazo

- **Antiderivada:** $x\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C$
- **Dominio:** $-1 \le x \le 1$
- **Método:** Integración por partes con $u = \arcsin x$, $dv = dx$
- **Versión con arccos:** $\int \arccos x\,dx = x\arccos x - \sqrt{1-x^2} + C$
- **De 0 a 1:** $\frac{\pi}{2} - 1 \approx 0.571$

## Ideas clave

- La integral de $\arcsin x$ es $x\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C$.
- Usa integración por partes con $u = \arcsin x$ y $dv = dx$, y luego un cambio de variable $u$ para $\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx$.
- La integral de $\arccos x$ tiene la misma forma con un signo menos: $x\arccos x - \sqrt{1-x^2} + C$.
- El valor $\int_0^1 \arcsin x\,dx = \frac{\pi}{2} - 1$ también se puede obtener de la gráfica restando áreas.

La **integral de $\arcsin x$ es $x\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C$**. Igual que $\ln x$ y $\arctan x$, no tiene una regla inversa directa, así que se integra por partes usando un factor 1.

$$\int \arcsin x\,dx = x\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C$$

## Gráfica de arcsen x con el área de 0 a 1

```graph
title: 'y = arcsen x con el área de 0 a 1 sombreada'
caption: 'El área sombreada es $\frac{\pi}{2} - 1 \approx 0.571$. Es el rectángulo de $1 \times \frac{\pi}{2}$ menos el área entre la curva y el eje $y$, que vale $\int_0^{\pi/2}\sin y\,dy = 1$.'
x: [-1.5, 1.5]
y: [-2, 2]
functions:
  - expr: arcsin(x)
    label: y = arcsen x
    domain: [-1, 1]
shade:
  expr: arcsin(x)
  from: 0
  to: 1
points:
  - [1, 1.5708, '(1, π/2)']
  - [-1, -1.5708, '(−1, −π/2)']
```

## Cómo integrar arcsen x paso a paso

Usa la [integración por partes](/rules/integration-by-parts-rule), $\int u\,dv = uv - \int v\,du$.

1. **Elige las partes.** $u = \arcsin x$ y $dv = dx$, así que $du = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx$ y $v = x$.
2. **Aplica la fórmula.**
$$\int \arcsin x\,dx = x\arcsin x - \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx$$
3. **Resuelve la integral que queda** con $w = 1 - x^2$, $dw = -2x\,dx$:
$$\int\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = -\frac{1}{2}\int w^{-1/2}\,dw = -\sqrt{w} + C = -\sqrt{1-x^2} + C$$
4. **Junta todo.** Restar un negativo da un más:
$$\int \arcsin x\,dx = x\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C$$

## Comprobación derivando

$$\frac{d}{dx}\left(x\arcsin x + \sqrt{1-x^2}\right) = \arcsin x + \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}} = \arcsin x$$

Las dos fracciones se cancelan y solo queda $\arcsin x$. Aquí se usa la [derivada de arcsen x](/derivatives/arcsin-x), $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.

## Integrales definidas

**De 0 a 1:**

$$\int_0^1\arcsin x\,dx = \left(1\cdot\frac{\pi}{2} + 0\right) - (0 + 1) = \frac{\pi}{2} - 1 \approx 0.571$$

La gráfica da el mismo resultado sin ninguna antiderivada. La región bajo $y = \arcsin x$ y la región a su izquierda (entre la curva y el eje $y$) llenan un rectángulo de área $\frac{\pi}{2}$. La región de la izquierda es el área bajo $x = \sin y$ para $0 \le y \le \frac{\pi}{2}$, que vale $1$.

**De 0 a 1/2:**

$$\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{6} + \sqrt{\frac{3}{4}} - 1 = \frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 \approx 0.128$$

**De −1 a 1:** $\arcsin x$ es impar, así que la integral es $0$.

## Ejemplos resueltos

**Ejemplo 1: arccos x.** El mismo planteamiento por partes, pero con $du = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx$:

$$\int\arccos x\,dx = x\arccos x + \int\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = x\arccos x - \sqrt{1-x^2} + C$$

Como comprobación, al sumar los resultados de arcsen y arccos se obtiene $x\left(\arcsin x + \arccos x\right) = \frac{\pi}{2}x$, que es la integral de la constante $\frac{\pi}{2}$.

**Ejemplo 2: un argumento escalado.** $\int\arcsin\frac{x}{2}\,dx$. Sea $u = \frac{x}{2}$, $dx = 2\,du$:

$$2\left(u\arcsin u + \sqrt{1-u^2}\right) + C = x\arcsin\frac{x}{2} + \sqrt{4 - x^2} + C$$

Aquí $2\sqrt{1 - \frac{x^2}{4}} = \sqrt{4 - x^2}$.

**Ejemplo 3: primero un cambio de variable.** $\int \frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx$ no es un problema de partes. Con $u = \arcsin x$, $du = \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$, así que el resultado es $\frac{1}{2}(\arcsin x)^2 + C$.

## Errores comunes

1. **Un error de signo en la integral que queda.** $\int\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx$ es $-\sqrt{1-x^2}$, así que el resultado final lleva $+\sqrt{1-x^2}$. Al derivar se detecta enseguida.
2. **Leer $\sin^{-1}x$ como $\frac{1}{\sin x}$.** El inverso multiplicativo es $\csc x$, otra función; consulta la [integral de csc x](/integrals/csc-x).
3. **Usar partes cuando hay un cambio de variable a la vista.** Si $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ ya está junto a $\arcsin x$, haz el cambio de variable.
4. **Ignorar el dominio.** $\arcsin x$ solo existe para $-1 \le x \le 1$, así que una integral definida debe quedarse dentro de ese intervalo.

Para obtener arcsen como resultado, consulta la [integral de 1/√(1−x²)](/integrals/1-over-sqrt-1-minus-x-squared). La página del [arcoseno](/functions/arcsine) tiene más sobre la función, y la [integral de arctan x](/integrals/arctan-x) usa el mismo método.

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la integral de arcsen x?

Es $x\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C$, para $-1 \le x \le 1$.

### ¿Cuál es la integral de sen⁻¹ x?

$\sin^{-1}x$ es otro nombre de $\arcsin x$, así que la integral es $x\sin^{-1}x + \sqrt{1-x^2} + C$. No es $\int \csc x\,dx$.

### ¿Cuál es la integral de arccos x?

Es $x\arccos x - \sqrt{1-x^2} + C$. Los pasos son los mismos que con arcsen, pero $\frac{d}{dx}\arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ cambia el signo del término con raíz.

### ¿Cuál es la integral de arcsen(x/2)?

Es $x\arcsin\frac{x}{2} + \sqrt{4-x^2} + C$. Haz el cambio $u = \frac{x}{2}$, $dx = 2\,du$, y usa la fórmula básica.