# Integral de arctan x: fórmula, pasos y ejemplos

> La integral de arctan x es x arctan x − ½ ln(1+x²) + C. Los pasos de la integración por partes, la comprobación, integrales definidas y ejemplos.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/integrales/integral-de-arctan-x
Actualizado: 2026-11-06

$$ \int \arctan x\,dx = x\arctan x - \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C $$

## De un vistazo

- **Antiderivada:** $x\arctan x - \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C$
- **Método:** Integración por partes con $u = \arctan x$, $dv = dx$
- **De 0 a 1:** $\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\ln 2 \approx 0.439$
- **Integral relacionada:** $\int \frac{dx}{1+x^2} = \arctan x + C$

## Ideas clave

- La integral de $\arctan x$ es $x\arctan x - \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C$.
- Usa integración por partes con $u = \arctan x$ y $dv = dx$. La integral que queda, $\int\frac{x}{1+x^2}\,dx$, es un cambio de variable sencillo que da un logaritmo.
- No hay valor absoluto en $\ln(1+x^2)$ porque $1 + x^2$ siempre es positivo.
- El mismo truco, partes con $dv = dx$, funciona con $\ln x$, $\arcsin x$ y $\arccos x$.

La **integral de $\arctan x$ es $x\arctan x - \dfrac{1}{2}\ln(1+x^2) + C$**. No hay ninguna regla básica que deshaga directamente la arcotangente, así que el camino habitual es la integración por partes con un factor 1 "escondido".

$$\int \arctan x\,dx = x\arctan x - \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C$$

## Gráfica de arctan x y su antiderivada

```graph
title: 'y = arctan x y su antiderivada'
caption: 'El área sombreada de $0$ a $1$ es $\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\ln 2 \approx 0.439$. La antiderivada discontinua tiene un mínimo en $x = 0$, donde $\arctan x$ cambia de signo.'
x: [-4, 4]
y: [-2, 3.5]
functions:
  - expr: arctan(x)
    label: y = arctan x
  - expr: x*arctan(x) - 0.5*ln(1+x^2)
    label: y = x arctan x − ½ ln(1+x²)
    dashed: true
shade:
  expr: arctan(x)
  from: 0
  to: 1
points:
  - [0, 0, '(0, 0)']
```

## Cómo integrar arctan x paso a paso

El truco es escribir $\arctan x$ como $\arctan x \cdot 1$ y usar la [integración por partes](/rules/integration-by-parts-rule), $\int u\,dv = uv - \int v\,du$.

1. **Elige las partes.** $u = \arctan x$ y $dv = dx$. Entonces $du = \frac{1}{1+x^2}\,dx$ y $v = x$.
2. **Aplica la fórmula.**
$$\int \arctan x\,dx = x\arctan x - \int \frac{x}{1+x^2}\,dx$$
3. **Resuelve la integral que queda** con $w = 1 + x^2$, $dw = 2x\,dx$:
$$\int \frac{x}{1+x^2}\,dx = \frac{1}{2}\int\frac{dw}{w} = \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C$$
4. **Junta todo.**
$$\int \arctan x\,dx = x\arctan x - \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C$$

¿Por qué elegir $u = \arctan x$? Su derivada $\frac{1}{1+x^2}$ es algebraica y mucho más fácil de manejar. En el orden LIATE, las funciones trigonométricas inversas están entre las primeras, así que son buenas candidatas para $u$.

## Comprobación derivando

$$\frac{d}{dx}\left(x\arctan x - \frac{1}{2}\ln(1+x^2)\right) = \arctan x + \frac{x}{1+x^2} - \frac{1}{2}\cdot\frac{2x}{1+x^2} = \arctan x$$

Las dos fracciones se cancelan exactamente y queda $\arctan x$.

## Integrales definidas

**De 0 a 1:**

$$\int_0^1 \arctan x\,dx = \left(1\cdot\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\ln 2\right) - (0 - 0) = \frac{\pi}{4} - \frac{\ln 2}{2} \approx 0.439$$

**De −1 a 1:** $\arctan x$ es una función impar, así que $\int_{-1}^{1}\arctan x\,dx = 0$. El área sobre el eje a la derecha cancela el área bajo el eje a la izquierda.

**De 0 a √3:** $\sqrt{3}\cdot\frac{\pi}{3} - \frac{1}{2}\ln 4 = \frac{\pi\sqrt{3}}{3} - \ln 2 \approx 1.121$.

## Ejemplos resueltos

**Ejemplo 1: un argumento escalado.** $\int \arctan(2x)\,dx$. Sea $u = 2x$, así que $dx = \frac{du}{2}$:

$$\frac{1}{2}\left(u\arctan u - \frac{1}{2}\ln(1+u^2)\right) + C = x\arctan(2x) - \frac{1}{4}\ln(1+4x^2) + C$$

Comprobación: la derivada es $\arctan 2x + \frac{2x}{1+4x^2} - \frac{1}{4}\cdot\frac{8x}{1+4x^2} = \arctan 2x$.

**Ejemplo 2: x por arctan x.** Toma $u = \arctan x$ y $dv = x\,dx$, así que $v = \frac{x^2}{2}$:

$$\int x\arctan x\,dx = \frac{x^2}{2}\arctan x - \frac{1}{2}\int\frac{x^2}{1+x^2}\,dx$$

Escribe $\frac{x^2}{1+x^2} = 1 - \frac{1}{1+x^2}$, cuya integral es $x - \arctan x$. Por tanto

$$\int x\arctan x\,dx = \frac{1}{2}(x^2 + 1)\arctan x - \frac{x}{2} + C$$

**Ejemplo 3: arcotangente de la raíz.** Para $\int\arctan\sqrt{x}\,dx$, haz primero $x = t^2$ y luego aplica partes. El resultado es $(x+1)\arctan\sqrt{x} - \sqrt{x} + C$, que puedes confirmar derivando.

## Errores comunes

1. **Responder $\frac{1}{1+x^2}$.** Esa es la derivada de $\arctan x$, no su integral. Consulta la [derivada de arctan x](/derivatives/arctan-x).
2. **Confundir arctan con el inverso de tan.** $\tan^{-1}x$ es la función inversa. $\frac{1}{\tan x} = \cot x$ es otra función; consulta la [integral de cot x](/integrals/cot-x).
3. **Perder el factor $\frac{1}{2}$.** En $\int\frac{x}{1+x^2}\,dx$, el cambio de variable da $\frac{1}{2}\ln(1+x^2)$, no $\ln(1+x^2)$.
4. **Intercambiar los papeles.** Elegir $u = 1$ y $dv = \arctan x\,dx$ exige la integral que intentas calcular. Deriva siempre la función trigonométrica inversa.

Para obtener arctan como resultado en lugar de integrarla, consulta la [integral de 1/(1+x²)](/integrals/1-over-1-plus-x-squared). El mismo truco por partes aparece en la página de la [integral de ln x](/integrals/ln-x), y la [guía de integración por partes](/blog/integration-by-parts) tiene más práctica.

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la integral de arctan x?

Es $x\arctan x - \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C$.

### ¿Cuál es la integral de tan⁻¹ x?

$\tan^{-1} x$ significa $\arctan x$, así que la integral es la misma: $x\tan^{-1} x - \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C$. No es $\int\frac{1}{\tan x}\,dx$, que vale $\ln\lvert\sin x\rvert + C$.

### ¿Cuál es la integral de arctan(2x)?

Es $x\arctan(2x) - \frac{1}{4}\ln(1+4x^2) + C$. Haz el cambio $u = 2x$ y usa la fórmula básica, o aplica partes directamente.

### ¿Cuál es la integral de x arctan x?

Es $\frac{1}{2}(x^2+1)\arctan x - \frac{x}{2} + C$, por partes con $u = \arctan x$ y $dv = x\,dx$.