# Integral de cos² x: fórmula, deducción y ejemplos

> La integral de cos² x es x/2 + sen(2x)/4 + C. La fórmula de reducción de potencias, la comprobación, cos²(ax) y el área del círculo.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/integrales/integral-de-cos-cuadrado-x
Actualizado: 2026-11-06

$$ \int \cos^2 x\,dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C $$

## De un vistazo

- **Antiderivada:** $\dfrac{x}{2} + \dfrac{\sin 2x}{4} + C$
- **Identidad usada:** $\cos^2 x = \dfrac{1 + \cos 2x}{2}$
- **Forma equivalente:** $\dfrac{x + \sin x\cos x}{2} + C$
- **De 0 a 2π:** $\pi$
- **Comprobación con sen²:** $\int(\sin^2 x + \cos^2 x)\,dx = x + C$

## Ideas clave

- La integral de $\cos^2 x$ es $\frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C$.
- Reescribe con $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ antes de integrar.
- Sumarla a la integral de $\sin^2 x$ da $x + C$, una forma rápida de comprobar los signos.
- Esta integral aparece siempre que una sustitución trigonométrica se encuentra con $\sqrt{1 - x^2}$, como en el área del círculo.

La **integral de $\cos^2 x$ es $\dfrac{x}{2} + \dfrac{\sin 2x}{4} + C$**. Igual que $\sin^2 x$, necesita una identidad de reducción de potencias antes de integrar.

$$\int \cos^2 x\,dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C$$

## Gráfica de cos² x y su antiderivada

```graph
title: 'Área bajo y = cos² x entre -π/2 y π/2, con la antiderivada y = x/2 + sen(2x)/4'
caption: 'El área sombreada es $\frac{\pi}{2} \approx 1.571$. La antiderivada discontinua sube más rápido en $x = 0$, donde $\cos^2 x = 1$, y se aplana donde $\cos^2 x = 0$.'
x: [-3.5, 3.5]
y: [-2, 2]
functions:
  - expr: cos(x)^2
    label: y = cos² x
  - expr: x/2 + sin(2x)/4
    label: y = x/2 + sen(2x)/4 (antiderivada)
    dashed: true
shade: {expr: cos(x)^2, from: -1.5708, to: 1.5708}
points:
  - [0, 1, '(0, 1)']
```

## Deducción paso a paso

1. Parte de $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$.
2. Despeja $\cos^2 x$: $\cos^2 x = \dfrac{1 + \cos 2x}{2}$.
3. Sustituye: $\displaystyle\int\cos^2 x\,dx = \frac{1}{2}\int(1 + \cos 2x)\,dx$.
4. Integra: $\frac{1}{2}\left(x + \frac{\sin 2x}{2}\right) + C$.
5. Simplifica: $\frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C$.

El paso 4 usa la [integral de cos x](/integrals/cos-x) con un factor $\frac{1}{2}$ que sale del $2x$ interior.

## Comprobación derivando

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4}\right) = \frac{1}{2} + \frac{\cos 2x}{2} = \cos^2 x \checkmark$$

Una segunda comprobación: suma este resultado a la [integral de sen² x](/integrals/sin-squared-x):

$$\left(\frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4}\right) + \left(\frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4}\right) = x$$

Coincide con $\int(\sin^2 x + \cos^2 x)\,dx = \int 1\,dx = x$. El sentido directo está en la página de la [derivada de cos² x](/derivatives/cos-squared-x).

## Integrales definidas

$$\int_0^{\pi/2}\cos^2 x\,dx = \frac{\pi}{4}, \qquad \int_0^{\pi}\cos^2 x\,dx = \frac{\pi}{2}, \qquad \int_0^{2\pi}\cos^2 x\,dx = \pi$$

$$\int_0^{\pi/6}\cos^2 x\,dx = \frac{\pi}{12} + \frac{\sin(\pi/3)}{4} = \frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{8} \approx 0.478$$

## Variantes por sustitución

$$\int\cos^2(ax)\,dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin(2ax)}{4a} + C$$

**Ejemplo 1.** $\int\cos^2(5x)\,dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin 10x}{20} + C$.

**Ejemplo 2.** $\int\cos^2\frac{x}{2}\,dx = \int\frac{1 + \cos x}{2}\,dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin x}{2} + C$.

**Ejemplo 3: con un factor sen x.** $\int\cos^2 x\sin x\,dx = -\frac{\cos^3 x}{3} + C$, usando $u = \cos x$. No hace falta ninguna identidad.

## Dónde aparece: el área del círculo

El área de un círculo de radio $1$ es $4\int_0^1\sqrt{1 - x^2}\,dx$. Haz el cambio $x = \sin\theta$, $dx = \cos\theta\,d\theta$:

$$4\int_0^{\pi/2}\cos\theta\cdot\cos\theta\,d\theta = 4\int_0^{\pi/2}\cos^2\theta\,d\theta = 4\cdot\frac{\pi}{4} = \pi$$

Los mismos pasos dan la [integral de √(1 - x²)](/integrals/sqrt-1-minus-x-squared). Consulta la [sustitución trigonométrica](/blog/trig-substitution) para ver el método.

## Ejemplo resuelto: cos² x sen² x

Usa $\sin x\cos x = \frac{\sin 2x}{2}$, de modo que $\sin^2 x\cos^2 x = \frac{\sin^2 2x}{4} = \frac{1 - \cos 4x}{8}$. Entonces

$$\int\sin^2 x\cos^2 x\,dx = \frac{x}{8} - \frac{\sin 4x}{32} + C$$

## Errores comunes

1. **Responder $\sin^2 x$.** Su derivada es $2\sin x\cos x$.
2. **Responder $\frac{\cos^3 x}{3}$.** Eso necesitaría un factor $-\sin x$.
3. **Usar $1 - \cos 2x$.** Esa identidad es para $\sin^2 x$. Una prueba rápida: en $x = 0$, $\cos^2 x = 1$, y $\frac{1 + \cos 0}{2} = 1$.
4. **Escribir $\frac{\sin 2x}{2}$ en lugar de $\frac{\sin 2x}{4}$.** Recuerda las dos mitades: una de la identidad y otra del $2x$ interior.

Practica con los [ejercicios de integrales trigonométricas](/practice-problems/trig-integrals).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la integral de cos² x?

Es $\frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C$, o de forma equivalente $\frac{1}{2}(x + \sin x\cos x) + C$.

### ¿Cuánto vale la integral de cos² x entre 0 y 2π?

Vale $\pi$. El término $\sin 2x$ es $0$ en los dos extremos, y queda $\frac{2\pi}{2}$.

### ¿Cuál es la integral de cos²(x/2)?

Como $\cos^2\frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2}$, la integral es $\frac{x}{2} + \frac{\sin x}{2} + C$.

### ¿Cuál es la integral de cos² x sen x?

Usa $u = \cos x$, $du = -\sin x\,dx$. El resultado es $-\frac{\cos^3 x}{3} + C$.