# Integral de cos x: fórmula, deducción y ejemplos

> La integral de cos x es sen x + C. Por qué no lleva signo menos, el área de un arco, cos(ax + b) por sustitución y ejemplos resueltos de integrales definidas.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/integrales/integral-de-cos-x
Actualizado: 2026-11-06

$$ \int \cos x\,dx = \sin x + C $$

## De un vistazo

- **Antiderivada:** $\sin x + C$
- **Área de un arco:** $\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos x\,dx = 2$
- **Periodo completo:** $\int_0^{2\pi}\cos x\,dx = 0$
- **Forma lineal:** $\int\cos(ax + b)\,dx = \dfrac{1}{a}\sin(ax + b) + C$
- **Comprobación:** $\dfrac{d}{dx}\sin x = \cos x$

## Ideas clave

- La integral de $\cos x$ es $\sin x + C$, sin signo menos.
- El arco de $\cos x$ entre $-\frac{\pi}{2}$ y $\frac{\pi}{2}$ tiene área $2$.
- Para $\cos(ax + b)$, divide entre $a$: $\int\cos(2x)\,dx = \frac{1}{2}\sin(2x) + C$.
- El signo menos corresponde a la otra pareja: $\int\sin x\,dx = -\cos x + C$.

La **integral de $\cos x$ es $\sin x + C$**. Como la derivada de $\sin x$ es exactamente $\cos x$, es una de las integrales más limpias que existen.

$$\int \cos x\,dx = \sin x + C$$

## Gráfica de cos x y su antiderivada

```graph
title: 'Área bajo y = cos x entre -π/2 y π/2, con la antiderivada y = sen x'
caption: 'El arco sombreado tiene área $\sin\frac{\pi}{2} - \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 2$. La curva discontinua $y = \sin x$ sube de $-1$ a $1$ en el mismo intervalo.'
x: [-3.5, 5]
y: [-1.6, 1.6]
functions:
  - expr: cos(x)
    label: y = cos x
  - expr: sin(x)
    label: y = sen x (antiderivada)
    dashed: true
shade: {expr: cos(x), from: -1.5708, to: 1.5708}
points:
  - [1.5708, 1, '(π/2, 1)']
```

La antiderivada $\sin x$ alcanza su máximo en $x = \frac{\pi}{2}$, justo donde $\cos x$ pasa por cero de positiva a negativa.

## Deducción paso a paso

1. Pregúntate: ¿qué función tiene derivada $\cos x$?
2. La [derivada de sen x](/derivatives/sin-x) es $\cos x$.
3. Así que $\sin x$ es una antiderivada de $\cos x$.
4. Suma $C$ para incluir todas las antiderivadas: $\sin x + C$.

Aquí no hace falta corregir ningún signo, a diferencia de la [integral de sen x](/integrals/sin-x).

## Comprobación derivando

$$\frac{d}{dx}(\sin x + C) = \cos x \checkmark$$

## Integrales definidas

| Integral | Valor |
| --- | --- |
| $\int_0^{\pi/2}\cos x\,dx$ | $\sin\frac{\pi}{2} - \sin 0 = 1$ |
| $\int_0^{\pi/6}\cos x\,dx$ | $\frac{1}{2}$ |
| $\int_0^{\pi}\cos x\,dx$ | $0$ |
| $\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos x\,dx$ | $2$ |

Como $\cos x$ es par, $\int_{-a}^{a}\cos x\,dx = 2\int_0^a\cos x\,dx = 2\sin a$.

## Variantes por sustitución

Con $u = ax + b$:

$$\int\cos(ax + b)\,dx = \frac{1}{a}\sin(ax + b) + C$$

Por ejemplo, $\int\cos(4x - 1)\,dx = \frac{1}{4}\sin(4x - 1) + C$, y $\int\cos(\pi x)\,dx = \frac{1}{\pi}\sin(\pi x) + C$.

Cuando la derivada del interior aparece como factor, usa el [cambio de variable](/rules/u-substitution-rule):

$$\int \cos x\,e^{\sin x}\,dx = e^{\sin x} + C \quad (u = \sin x)$$

$$\int \cos x\,\sin^3 x\,dx = \frac{\sin^4 x}{4} + C \quad (u = \sin x)$$

$$\int \frac{\cos(\sqrt{x})}{\sqrt{x}}\,dx = 2\sin(\sqrt{x}) + C \quad (u = \sqrt{x})$$

En la última, $du = \frac{1}{2\sqrt{x}}dx$, así que $\frac{dx}{\sqrt{x}} = 2\,du$.

## Ejemplos resueltos

**Ejemplo 1.** $\int(2\cos x - 3\sin x)\,dx = 2\sin x + 3\cos x + C$. Fíjate en cómo el menos delante de $\sin$ se combina con el menos de $-\cos x$ para dar $+3\cos x$.

**Ejemplo 2.** $\int_0^{\pi/4}\cos(2x)\,dx = \left[\frac{1}{2}\sin(2x)\right]_0^{\pi/4} = \frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{2} = \frac{1}{2}$.

**Ejemplo 3: un problema de valor inicial.** Si $f'(x) = \cos x$ y $f(0) = 3$, entonces $f(x) = \sin x + C$ y $f(0) = C = 3$, así que $f(x) = \sin x + 3$.

**Ejemplo 4: movimiento armónico simple.** Si un muelle tiene velocidad $v(t) = 4\cos(2t)$ y posición $s(0) = 0$, entonces $s(t) = 2\sin(2t)$. La amplitud es $2$.

## Errores comunes

1. **Escribir $-\sin x$.** Esa es la derivada de $\cos x$, no la integral.
2. **Olvidar dividir entre $a$.** $\int\cos(3x)\,dx = \frac{1}{3}\sin(3x) + C$, no $\sin(3x) + C$.
3. **Integrar $\cos^2 x$ como $\sin^2 x$ o $\frac{\cos^3 x}{3}$.** Las potencias de funciones trigonométricas necesitan identidades. Consulta la [integral de cos² x](/integrals/cos-squared-x).
4. **Integrar $\cos(x^2)$ como $\frac{\sin(x^2)}{2x}$.** No puedes dividir entre una derivada interior que es variable. $\int\cos(x^2)\,dx$ no tiene antiderivada elemental.

Practica con los [ejercicios de integrales trigonométricas](/practice-problems/trig-integrals).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la integral de cos x?

La integral de $\cos x$ es $\sin x + C$.

### ¿Cuál es la integral de cos(2x)?

Es $\frac{1}{2}\sin(2x) + C$. Comprobación: la derivada de $\frac{1}{2}\sin(2x)$ es $\frac{1}{2}\cdot 2\cos(2x) = \cos(2x)$.

### ¿Cuánto vale la integral de cos x entre 0 y π?

Vale $\sin\pi - \sin 0 = 0$. El área sobre el eje en $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ cancela el área bajo el eje en $\left[\frac{\pi}{2}, \pi\right]$.

### ¿La integral de cos x es -sen x?

No. $-\sin x$ es la derivada de $\cos x$. La integral es $+\sin x + C$.