# Integral de cot x: fórmula, deducción y ejemplos

> La integral de cot x es ln|sen x| + C. El cambio u = sen x, su relación con tan x, además de cot(ax), cot² x y ejemplos de integrales definidas.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/integrales/integral-de-cot-x
Actualizado: 2026-11-06

$$ \int \cot x\,dx = \ln\lvert\sin x\rvert + C $$

## De un vistazo

- **Antiderivada:** $\ln\lvert\sin x\rvert + C$
- **Forma equivalente:** $-\ln\lvert\csc x\rvert + C$
- **Método:** Escribe $\dfrac{\cos x}{\sin x}$ y luego $u = \sin x$
- **Forma lineal:** $\int\cot(ax)\,dx = \dfrac{1}{a}\ln\lvert\sin(ax)\rvert + C$
- **Comprobación:** $\dfrac{d}{dx}\ln\lvert\sin x\rvert = \cot x$

## Ideas clave

- La integral de $\cot x$ es $\ln\lvert\sin x\rvert + C$.
- Escribe $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$. El numerador es la derivada del denominador, así que el resultado es un logaritmo.
- A diferencia de $\tan x$, no hay signo menos: la derivada de $\sin x$ es $+\cos x$.
- No es $-\csc^2 x$. Esa es la derivada de $\cot x$.

La **integral de $\cot x$ es $\ln\lvert\sin x\rvert + C$**. Sale de un único cambio de variable y es la imagen especular de la [integral de tan x](/integrals/tan-x).

$$\int \cot x\,dx = \ln\lvert\sin x\rvert + C$$

## Gráfica de cot x y su antiderivada

```graph
title: 'Área bajo y = cot x entre π/6 y π/2, con la antiderivada y = ln|sen x|'
caption: 'El área sombreada es $\ln 2 \approx 0.693$. La antiderivada discontinua alcanza su máximo, $0$, en $x = \frac{\pi}{2}$, justo donde $\cot x$ pasa por cero.'
x: [-0.2, 3.4]
y: [-3, 4]
functions:
  - expr: cot(x)
    label: y = cot x
    domain: [0.25, 2.9]
  - expr: ln(abs(sin(x)))
    label: y = ln|sen x| (antiderivada)
    dashed: true
    domain: [0.05, 3.09]
shade: {expr: cot(x), from: 0.5236, to: 1.5708}
points:
  - [1.5708, 0, '(π/2, 0)']
```

## Deducción paso a paso

1. Reescribe: $\displaystyle\int\cot x\,dx = \int\frac{\cos x}{\sin x}\,dx$.
2. Sea $u = \sin x$. Entonces $du = \cos x\,dx$.
3. Sustituye: $\displaystyle\int\frac{du}{u} = \ln\lvert u\rvert + C$.
4. Deshaz el cambio $u = \sin x$: $\ln\lvert\sin x\rvert + C$.

El paso 3 es la [integral de 1/x](/integrals/1-over-x). Como $\ln\lvert\sin x\rvert = -\ln\lvert\csc x\rvert$, algunos libros escriben el resultado como $-\ln\lvert\csc x\rvert + C$. Es la misma función.

## Comprobación derivando

$$\frac{d}{dx}\ln\lvert\sin x\rvert = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x \checkmark$$

El sentido directo es distinto: la [derivada de cot x](/derivatives/cot-x) es $-\csc^2 x$.

## Comparación entre tan y cot

| | $\tan x$ | $\cot x$ |
| --- | --- | --- |
| Reescritura | $\frac{\sin x}{\cos x}$ | $\frac{\cos x}{\sin x}$ |
| Cambio de variable | $u = \cos x$, $du = -\sin x\,dx$ | $u = \sin x$, $du = \cos x\,dx$ |
| Integral | $-\ln\lvert\cos x\rvert + C$ | $\ln\lvert\sin x\rvert + C$ |
| Derivada | $\sec^2 x$ | $-\csc^2 x$ |

El signo menos aparece con $\tan x$ pero no con $\cot x$, porque la derivada de $\cos x$ es $-\sin x$, mientras que la de $\sin x$ es $+\cos x$.

## Integrales definidas

$$\int_{\pi/6}^{\pi/2}\cot x\,dx = \ln 1 - \ln\frac{1}{2} = \ln 2$$

$$\int_{\pi/4}^{\pi/2}\cot x\,dx = 0 - \ln\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2}\ln 2$$

Empezar en $x = 0$ da una integral impropia divergente, ya que $\ln\sin x \to -\infty$ cuando $x \to 0^+$.

## Variantes por sustitución

$$\int\cot(ax + b)\,dx = \frac{1}{a}\ln\lvert\sin(ax + b)\rvert + C$$

**Ejemplo 1.** $\int\cot(4x)\,dx = \frac{1}{4}\ln\lvert\sin 4x\rvert + C$.

**Ejemplo 2.** $\int x\cot(x^2)\,dx = \frac{1}{2}\ln\lvert\sin(x^2)\rvert + C$, con $u = x^2$.

**Ejemplo 3: cotangente al cuadrado.** Usa $\cot^2 x = \csc^2 x - 1$:

$$\int\cot^2 x\,dx = \int(\csc^2 x - 1)\,dx = -\cot x - x + C$$

Comprobación: $\frac{d}{dx}(-\cot x - x) = \csc^2 x - 1 = \cot^2 x$.

**Ejemplo 4: una cotangente escondida.** $\int\frac{\cos x}{3\sin x + 2}\,dx = \frac{1}{3}\ln\lvert 3\sin x + 2\rvert + C$, con $u = 3\sin x + 2$.

## Errores comunes

1. **Responder $-\csc^2 x$.** Esa es la derivada de $\cot x$.
2. **Añadir un signo menos por analogía con $\tan x$.** $-\ln\lvert\sin x\rvert$ tiene derivada $-\cot x$.
3. **Responder $\ln\lvert\cos x\rvert$.** El logaritmo va sobre el denominador de $\frac{\cos x}{\sin x}$, que es $\sin x$.
4. **Quitar el valor absoluto.** $\sin x < 0$ en $(\pi, 2\pi)$.

Practica con los [ejercicios de cambio de variable](/practice-problems/u-substitution).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la integral de cot x?

La integral de $\cot x$ es $\ln\lvert\sin x\rvert + C$.

### ¿Cuál es la integral de cos x / sen x?

Eso es $\cot x$, así que la integral es $\ln\lvert\sin x\rvert + C$.

### ¿Cuál es la integral de cot(2x)?

Es $\frac{1}{2}\ln\lvert\sin 2x\rvert + C$.

### ¿Cuánto vale la integral de cot x entre π/6 y π/2?

Vale $\ln\sin\frac{\pi}{2} - \ln\sin\frac{\pi}{6} = 0 - \ln\frac{1}{2} = \ln 2 \approx 0.693$.