# Integral de csc x: fórmula, deducción y ejemplos

> La integral de csc x es -ln|csc x + cot x| + C, también ln|csc x - cot x| o ln|tan(x/2)|. Deducción, por qué las formas coinciden y ejemplos.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/integrales/integral-de-csc-x
Actualizado: 2026-11-06

$$ \int \csc x\,dx = -\ln\lvert\csc x + \cot x\rvert + C $$

## De un vistazo

- **Antiderivada:** $-\ln\lvert\csc x + \cot x\rvert + C$
- **Forma equivalente:** $\ln\lvert\csc x - \cot x\rvert + C$
- **Forma del ángulo mitad:** $\ln\left\lvert\tan\dfrac{x}{2}\right\rvert + C$
- **Método:** Multiplicar por $\dfrac{\csc x + \cot x}{\csc x + \cot x}$
- **De π/3 a π/2:** $\dfrac{1}{2}\ln 3 \approx 0.549$

## Ideas clave

- La integral de $\csc x$ es $-\ln\lvert\csc x + \cot x\rvert + C$.
- También se puede escribir $\ln\lvert\csc x - \cot x\rvert + C$ o $\ln\left\lvert\tan\frac{x}{2}\right\rvert + C$.
- La deducción es análoga a la de $\sec x$, con un signo menos extra que viene de las derivadas de $\csc$ y $\cot$.
- La integral de $\frac{1}{\sin x}$ es la misma, ya que $\csc x = \frac{1}{\sin x}$.

La **integral de $\csc x$ es $-\ln\lvert\csc x + \cot x\rvert + C$**. Es la gemela con cosecante de la [integral de sec x](/integrals/sec-x), y se deduce con el mismo truco.

$$\int \csc x\,dx = -\ln\lvert\csc x + \cot x\rvert + C = \ln\lvert\csc x - \cot x\rvert + C$$

## Gráfica de csc x y el área bajo ella

```graph
title: 'Área bajo y = csc x entre π/3 y π/2, con la antiderivada y = ln|tan(x/2)|'
caption: 'El área sombreada es $\frac{1}{2}\ln 3 \approx 0.549$. La antiderivada discontinua corta el cero en $x = \frac{\pi}{2}$, donde $\tan\frac{\pi}{4} = 1$.'
x: [-0.2, 3.4]
y: [-3, 4]
functions:
  - expr: csc(x)
    label: y = csc x
    domain: [0.26, 2.88]
  - expr: ln(abs(tan(x/2)))
    label: y = ln|tan(x/2)| (antiderivada)
    dashed: true
    domain: [0.1, 3.04]
shade: {expr: csc(x), from: 1.0472, to: 1.5708}
points:
  - [1.5708, 1, '(π/2, 1)']
```

## Deducción paso a paso

1. Multiplica por $\frac{\csc x + \cot x}{\csc x + \cot x}$:
$$\int\csc x\,dx = \int\frac{\csc^2 x + \csc x\cot x}{\csc x + \cot x}\,dx$$
2. Sea $u = \csc x + \cot x$. Usando la [derivada de csc x](/derivatives/csc-x) y la [derivada de cot x](/derivatives/cot-x):
$$du = (-\csc x\cot x - \csc^2 x)\,dx = -(\csc^2 x + \csc x\cot x)\,dx$$
3. Así que el numerador es $-du$, y la integral es $\int\frac{-du}{u} = -\ln\lvert u\rvert + C$.
4. Deshaz el cambio: $-\ln\lvert\csc x + \cot x\rvert + C$.

## Por qué las tres formas son iguales

Primero, $(\csc x + \cot x)(\csc x - \cot x) = \csc^2 x - \cot^2 x = 1$. Por tanto

$$-\ln\lvert\csc x + \cot x\rvert = \ln\frac{1}{\lvert\csc x + \cot x\rvert} = \ln\lvert\csc x - \cot x\rvert$$

Segundo, $\csc x - \cot x = \frac{1 - \cos x}{\sin x}$, y la identidad del ángulo mitad dice que $\frac{1 - \cos x}{\sin x} = \tan\frac{x}{2}$. Eso da $\ln\left\lvert\tan\frac{x}{2}\right\rvert$.

## Comprobación derivando

Usa la forma $\ln\lvert\csc x - \cot x\rvert$:

$$\frac{d}{dx}\ln\lvert\csc x - \cot x\rvert = \frac{-\csc x\cot x + \csc^2 x}{\csc x - \cot x} = \frac{\csc x(\csc x - \cot x)}{\csc x - \cot x} = \csc x \checkmark$$

## Integrales definidas

En $x = \frac{\pi}{2}$: $\csc - \cot = 1 - 0 = 1$, así que la antiderivada vale $\ln 1 = 0$. En $x = \frac{\pi}{3}$: $\csc - \cot = \frac{2}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Por tanto

$$\int_{\pi/3}^{\pi/2}\csc x\,dx = 0 - \ln\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2}\ln 3 \approx 0.549$$

La integral desde $0$ hasta cualquier punto diverge, porque $\csc x$ tiene una asíntota vertical en $x = 0$ y $\ln\tan\frac{x}{2} \to -\infty$.

## Variantes por sustitución

$$\int\csc(ax + b)\,dx = \frac{1}{a}\ln\lvert\csc(ax + b) - \cot(ax + b)\rvert + C$$

**Ejemplo 1.** $\int\csc(3x)\,dx = \frac{1}{3}\ln\lvert\csc 3x - \cot 3x\rvert + C$.

**Ejemplo 2.** $\int\frac{dx}{2\sin x\cos x} = \int\frac{dx}{\sin 2x} = \int\csc(2x)\,dx = \frac{1}{2}\ln\lvert\tan x\rvert + C$, usando la forma del ángulo mitad con $\frac{2x}{2} = x$.

**Ejemplo 3.** $\int\frac{\cos x}{\sin x}\,dx$ se parece, pero es la [integral de cot x](/integrals/cot-x), que vale $\ln\lvert\sin x\rvert + C$.

## Errores comunes

1. **Responder $-\csc x\cot x$.** Esa es la derivada de $\csc x$.
2. **Perder el signo menos** delante de $\ln\lvert\csc x + \cot x\rvert$. Su derivada sería entonces $-\csc x$.
3. **Mezclar las formas.** $-\ln\lvert\csc x - \cot x\rvert$ es incorrecto: el signo menos va con el más del interior, y viceversa.
4. **Responder $-\cot x$.** Esa es la integral de $\csc^2 x$, no de $\csc x$.

Practica con los [ejercicios de integrales trigonométricas](/practice-problems/trig-integrals).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la integral de csc x?

La integral de $\csc x$ es $-\ln\lvert\csc x + \cot x\rvert + C$, que es igual a $\ln\lvert\csc x - \cot x\rvert + C$.

### ¿Por qué coinciden -ln|csc x + cot x| y ln|csc x - cot x|?

$(\csc x + \cot x)(\csc x - \cot x) = \csc^2 x - \cot^2 x = 1$, así que $\csc x - \cot x = \frac{1}{\csc x + \cot x}$. Al tomar logaritmos, el inverso se convierte en un signo menos.

### ¿Cuál es la integral de 1/sen x?

Como $\frac{1}{\sin x} = \csc x$, es $\ln\left\lvert\tan\frac{x}{2}\right\rvert + C$, o cualquiera de las formas equivalentes.

### ¿Cuál es la integral de csc(3x)?

Es $\frac{1}{3}\ln\lvert\csc 3x - \cot 3x\rvert + C$.