# Integral de e^(2x): fórmula, pasos y ejemplos

> La integral de e^(2x) es ½e^(2x) + C, y en general ∫e^(kx) dx = (1/k)e^(kx) + C. El cambio de variable, una gráfica y ejemplos resueltos.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/integrales/integral-de-e-elevado-a-2x
Actualizado: 2026-11-06

$$ \int e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}e^{2x} + C $$

## De un vistazo

- **Antiderivada:** $\frac{1}{2}e^{2x} + C$
- **Forma general:** $\int e^{kx}\,dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C$ para $k \ne 0$
- **Método:** Cambio $u = 2x$, $du = 2\,dx$
- **De 0 a 1:** $\frac{e^2 - 1}{2} \approx 3.195$

## Ideas clave

- La integral de $e^{2x}$ es $\frac{1}{2}e^{2x} + C$.
- Para cualquier constante $k \ne 0$, $\int e^{kx}\,dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C$. Divide entre el coeficiente de $x$.
- Esto solo funciona cuando el exponente es lineal. Para $e^{x^2}$ no hay ningún atajo así.
- También se ve a partir de $e^{2x} = (e^x)^2$, pero el cambio de variable es más rápido.

La **integral de $e^{2x}$ es $\dfrac{1}{2}e^{2x} + C$**. En general, para integrar $e^{kx}$ se conserva la exponencial y se divide entre $k$.

$$\int e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}e^{2x} + C \qquad\qquad \int e^{kx}\,dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C\quad (k \ne 0)$$

## Gráfica de e²ˣ y su antiderivada

```graph
title: 'y = e^(2x) y su antiderivada ½e^(2x)'
caption: 'El área sombreada de $0$ a $1$ es $\frac{e^2 - 1}{2} \approx 3.195$. La antiderivada discontinua siempre mide la mitad de la altura de $e^{2x}$, ya que $\frac{1}{2}e^{2x}$ es simplemente $e^{2x}$ reducida a la mitad.'
x: [-2, 1.2]
y: [-0.5, 10]
functions:
  - expr: e^(2x)
    label: y = e^(2x)
  - expr: 0.5*e^(2x)
    label: y = ½e^(2x) (antiderivada)
    dashed: true
shade:
  expr: e^(2x)
  from: 0
  to: 1
points:
  - [0, 1, '(0, 1)']
```

## Cómo integrar e²ˣ paso a paso

Usa el [cambio de variable](/rules/u-substitution-rule).

1. Sea $u = 2x$. Entonces $du = 2\,dx$, así que $dx = \frac{1}{2}\,du$.
2. Reescribe: $\displaystyle\int e^{2x}\,dx = \int e^u\cdot\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int e^u\,du$.
3. Integra: $\frac{1}{2}e^u + C$, usando la [integral de eˣ](/integrals/e-to-the-x).
4. Deshaz el cambio: $\frac{1}{2}e^{2x} + C$.

Los mismos pasos con $u = kx$ dan $\frac{1}{k}e^{kx} + C$. Si se suma una constante, $u = kx + b$, se obtiene $\frac{1}{k}e^{kx + b} + C$.

**Otra forma de verlo.** La regla "divide entre la pendiente del interior" funciona con cualquier interior lineal: $\int\cos(3x)\,dx = \frac{1}{3}\sin 3x$, $\int (2x+1)^5\,dx = \frac{1}{12}(2x+1)^6$. Es la inversa de la regla de la cadena, que multiplica por la pendiente del interior.

## Comprobación derivando

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{k}e^{kx}\right) = \frac{1}{k}\cdot e^{kx}\cdot k = e^{kx}$$

La [regla de la cadena](/rules/chain-rule) saca un factor $k$, y el $\frac{1}{k}$ lo cancela. Consulta la [derivada de e²ˣ](/derivatives/e-to-the-2x) para el sentido directo.

## Integrales definidas

| Integral | Cálculo | Valor |
| --- | --- | --- |
| $\int_0^1 e^{2x}\,dx$ | $\frac{1}{2}(e^2 - 1)$ | $\approx 3.195$ |
| $\int_0^{\ln 3} e^{2x}\,dx$ | $\frac{1}{2}(9 - 1)$ | $4$ |
| $\int_{-\infty}^{0} e^{2x}\,dx$ | $\frac{1}{2}(1 - 0)$ | $\frac{1}{2}$ |
| $\int_0^{\infty} e^{-3x}\,dx$ | $-\frac{1}{3}(0 - 1)$ | $\frac{1}{3}$ |

En la segunda fila, $e^{2\ln 3} = (e^{\ln 3})^2 = 9$. La última fila es un ejemplo de un hecho útil: $\int_0^\infty e^{-kx}\,dx = \frac{1}{k}$ para $k > 0$.

## Ejemplos resueltos

**Ejemplo 1: un exponente desplazado.** $\displaystyle\int e^{3x + 1}\,dx = \frac{1}{3}e^{3x+1} + C$.

**Ejemplo 2: una fracción en el exponente.** $\displaystyle\int e^{x/2}\,dx = 2e^{x/2} + C$, ya que $k = \frac{1}{2}$.

**Ejemplo 3: desarrolla primero.** $\displaystyle\int (e^x + 1)^2\,dx$. Desarrolla y queda $e^{2x} + 2e^x + 1$:

$$\int (e^{2x} + 2e^x + 1)\,dx = \frac{1}{2}e^{2x} + 2e^x + x + C$$

**Ejemplo 4: simplifica un cociente.** $\displaystyle\int \frac{e^{5x}}{e^{3x}}\,dx = \int e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}e^{2x} + C$.

**Ejemplo 5: crecimiento.** Una población crece a un ritmo de $r(t) = 100e^{0.2t}$ individuos por año. El aumento en los primeros 5 años es

$$\int_0^5 100e^{0.2t}\,dt = 500\left(e^{1} - 1\right) \approx 859$$

## Errores comunes

1. **Multiplicar en lugar de dividir.** $\int e^{2x}\,dx$ no es $2e^{2x}$. Esa es la derivada.
2. **Dividir entre $2x$.** El divisor tiene que ser una constante. Si el exponente no es lineal, el atajo falla.
3. **Aplicarlo a $e^{x^2}$.** $\int e^{x^2}\,dx$ no tiene antiderivada elemental. Consulta la [integral de e^(x²)](/integrals/e-to-the-x-squared).
4. **Errores de signo con $k$ negativo.** $\int e^{-2x}\,dx = -\frac{1}{2}e^{-2x} + C$. Consulta la [integral de e⁻ˣ](/integrals/e-to-the-negative-x).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la integral de e^(2x)?

Es $\frac{1}{2}e^{2x} + C$.

### ¿Cuál es la integral de e^(kx)?

Es $\frac{1}{k}e^{kx} + C$ para cualquier constante $k$ distinta de cero. Por ejemplo, $\int e^{3x}\,dx = \frac{1}{3}e^{3x} + C$ y $\int e^{-4x}\,dx = -\frac{1}{4}e^{-4x} + C$.

### ¿Cuál es la integral de e^(x/2)?

Es $2e^{x/2} + C$. Aquí $k = \frac{1}{2}$, así que $\frac{1}{k} = 2$.

### ¿La integral de e^(2x) es e^(2x)/(2x)?

No. Se divide entre la constante $2$, no entre $2x$. Comprobación: la derivada de $\frac{1}{2}e^{2x}$ es $e^{2x}$, pero la derivada de $\frac{e^{2x}}{2x}$ no lo es.