# Integral de e^(−x): fórmula, pasos y ejemplos

> La integral de e^(−x) es −e^(−x) + C. El cambio de variable, por qué el área de 0 a infinito es 1, una gráfica y ejemplos como x e^(−x).

Fuente: https://practicecalculus.com/es/integrales/integral-de-e-elevado-a-menos-x
Actualizado: 2026-11-06

$$ \int e^{-x}\,dx = -e^{-x} + C $$

## De un vistazo

- **Antiderivada:** $-e^{-x} + C$
- **De 0 a ∞:** $1$
- **De 0 a 1:** $1 - \frac{1}{e} \approx 0.632$
- **Forma general:** $\int e^{-kx}\,dx = -\frac{1}{k}e^{-kx} + C$
- **Método:** Cambio $u = -x$, $du = -dx$

## Ideas clave

- La integral de $e^{-x}$ es $-e^{-x} + C$. El signo menos viene de la derivada del interior, $-1$.
- El área total bajo $e^{-x}$ de $0$ a $\infty$ es exactamente $1$.
- En general, $\int_0^\infty e^{-kx}\,dx = \frac{1}{k}$ para $k > 0$, y por eso $ke^{-kx}$ es una función de densidad de probabilidad.
- $\int x e^{-x}\,dx = -(x+1)e^{-x} + C$, por integración por partes.

La **integral de $e^{-x}$ es $-e^{-x} + C$**. El único cambio respecto a la [integral de eˣ](/integrals/e-to-the-x) es el signo menos, que viene del $-1$ del exponente.

$$\int e^{-x}\,dx = -e^{-x} + C$$

## Gráfica de e⁻ˣ y su área

```graph
title: 'y = e^(−x) con el área de 0 a 4 sombreada'
caption: 'El área sombreada es $1 - e^{-4} \approx 0.982$. Si sigues hasta el infinito, el área se acerca exactamente a $1$.'
x: [-1, 6]
y: [-0.5, 2.5]
functions:
  - expr: e^(-x)
    label: y = e^(−x)
shade:
  expr: e^(-x)
  from: 0
  to: 4
points:
  - [0, 1, '(0, 1)']
```

$e^{-x}$ es un decrecimiento exponencial: empieza en $1$ cuando $x = 0$ y pierde la misma fracción de su altura en cada paso de una unidad. Ese decrecimiento constante es lo que hace que la cola infinita sume un área finita.

## Cómo integrar e⁻ˣ paso a paso

1. Sea $u = -x$. Entonces $du = -dx$, así que $dx = -du$.
2. Reescribe: $\displaystyle\int e^{-x}\,dx = -\int e^u\,du$.
3. Integra: $-e^u + C$.
4. Deshaz el cambio: $-e^{-x} + C$.

Es el caso $k = -1$ de la regla $\int e^{kx}\,dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C$ de la página de la [integral de e²ˣ](/integrals/e-to-the-2x). Para tasas de decrecimiento $k > 0$:

$$\int e^{-kx}\,dx = -\frac{1}{k}e^{-kx} + C$$

## Comprobación derivando

$$\frac{d}{dx}\left(-e^{-x}\right) = -e^{-x}\cdot(-1) = e^{-x}$$

Los dos signos menos se cancelan. Consulta la [derivada de e⁻ˣ](/derivatives/e-to-the-negative-x).

## Integrales definidas e impropias

**De 0 a 1:** $\left[-e^{-x}\right]_0^1 = -e^{-1} + 1 = 1 - \frac{1}{e} \approx 0.632$.

**De 0 a ∞:** es una [integral impropia](/blog/improper-integrals), así que hay que tomar un límite:

$$\int_0^\infty e^{-x}\,dx = \lim_{b\to\infty}\left(1 - e^{-b}\right) = 1$$

**Una tasa de decrecimiento k.** $\int_0^\infty e^{-kx}\,dx = \frac{1}{k}$ para $k > 0$. Al multiplicar por $k$ se obtiene $\int_0^\infty ke^{-kx}\,dx = 1$, la probabilidad total de la distribución exponencial que se usa para tiempos de espera.

**Comprobación de la vida media.** $\int_0^{\ln 2} e^{-x}\,dx = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$. La mitad del área total queda antes de $x = \ln 2 \approx 0.693$.

## Ejemplos resueltos

**Ejemplo 1: un exponente escalado.** $\displaystyle\int e^{-x/3}\,dx = -3e^{-x/3} + C$.

**Ejemplo 2: x por e⁻ˣ.** Usa la [integración por partes](/rules/integration-by-parts-rule) con $u = x$ y $dv = e^{-x}\,dx$, de modo que $du = dx$ y $v = -e^{-x}$:

$$\int xe^{-x}\,dx = -xe^{-x} + \int e^{-x}\,dx = -xe^{-x} - e^{-x} + C = -(x+1)e^{-x} + C$$

De $0$ a $\infty$ vale $0 - (-1) = 1$, porque $xe^{-x} \to 0$ cuando $x \to \infty$.

**Ejemplo 3: un fármaco en la sangre.** Un fármaco se elimina del cuerpo a un ritmo de $40e^{-0.5t}$ mg por hora. La cantidad eliminada en las primeras 4 horas es

$$\int_0^4 40e^{-0.5t}\,dt = -80\left(e^{-2} - 1\right) = 80\left(1 - e^{-2}\right) \approx 69.2 \text{ mg}$$

**Ejemplo 4: funciones hiperbólicas.** $\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$, así que

$$\int\cosh x\,dx = \frac{e^x - e^{-x}}{2} + C = \sinh x + C$$

## Errores comunes

1. **Perder el signo menos.** $\int e^{-x}\,dx$ no es $e^{-x} + C$. Deriva tu resultado: deberías obtener $+e^{-x}$.
2. **Escribir $\frac{e^{-x+1}}{-x+1}$.** Eso es aplicar la regla de la potencia a una exponencial, algo que nunca es válido.
3. **Dar por divergente la integral impropia.** El intervalo es infinito, pero el área es $1$. Usa un límite; no te quedes en "infinito".
4. **Confundir $e^{-x}$ con $e^{-x^2}$.** La campana de Gauss $e^{-x^2}$ no tiene antiderivada elemental; consulta la [integral de e^(x²)](/integrals/e-to-the-x-squared).

Para más sobre productos como $xe^{-x}$, consulta la [integral de x eˣ](/integrals/x-e-to-the-x).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la integral de e^(−x)?

Es $-e^{-x} + C$.

### ¿Cuánto vale la integral de e^(−x) de 0 a infinito?

Vale $1$. La antiderivada $-e^{-x}$ va de $-1$ en $x = 0$ a $0$ cuando $x \to \infty$, así que la integral es $0 - (-1) = 1$.

### ¿Cuál es la integral de x e^(−x)?

Es $-(x+1)e^{-x} + C$. Usa partes con $u = x$ y $dv = e^{-x}\,dx$. De $0$ a $\infty$ vale $1$.

### ¿Por qué hay un signo menos en la integral de e^(−x)?

Porque la derivada de $-e^{-x}$ es $-e^{-x}\cdot(-1) = e^{-x}$. Sin el signo menos, la regla de la cadena te dejaría $-e^{-x}$.