# Integral de e^(x²): por qué no tiene una fórmula sencilla

> e^(x²) y e^(−x²) no tienen antiderivada elemental. Conoce las funciones erf y erfi, la solución en serie de potencias y por qué ∫e^(−x²) en ℝ vale √π.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/integrales/integral-de-e-elevado-a-x-cuadrado
Actualizado: 2026-11-06

$$ \int e^{-x^2}\,dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\,\operatorname{erf}(x) + C $$

## De un vistazo

- **Antiderivada:** No elemental. $\int e^{x^2}\,dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{erfi}(x) + C$
- **Versión de la campana:** $\int e^{-x^2}\,dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{erf}(x) + C$
- **Integral de Gauss:** $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}$
- **Forma en serie:** $\int e^{x^2}\,dx = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{n!\,(2n+1)} + C$
- **De 0 a 1:** $\int_0^1 e^{x^2}\,dx \approx 1.4627$ y $\int_0^1 e^{-x^2}\,dx \approx 0.7468$

## Ideas clave

- Ni $e^{x^2}$ ni $e^{-x^2}$ tienen una antiderivada formada por funciones elementales. Es un hecho demostrado, no una falta de técnica.
- Los matemáticos dan nombre a las antiderivadas: $\int e^{-x^2}\,dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{erf}(x) + C$ y $\int e^{x^2}\,dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{erfi}(x) + C$.
- Siempre puedes escribir la antiderivada como serie de potencias integrando término a término la serie de Maclaurin.
- La integral de Gauss $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}$ se calcula con coordenadas polares, no con una antiderivada.

**$e^{x^2}$ no tiene antiderivada elemental**, y tampoco la campana de Gauss $e^{-x^2}$. Ninguna fórmula construida con potencias, raíces, exponenciales, logaritmos y funciones trigonométricas tiene a ninguna de las dos como derivada. Aun así, las antiderivadas existen y tienen nombre:

$$\int e^{-x^2}\,dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\,\operatorname{erf}(x) + C \qquad \int e^{x^2}\,dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\,\operatorname{erfi}(x) + C$$

Y una integral definida famosa tiene un valor exacto:

$$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}$$

## Gráfica de e^(x²) y e^(−x²)

```graph
title: 'y = e^(x²) y la campana de Gauss y = e^(−x²)'
caption: 'El área sombreada total bajo la campana, en toda la recta real, es $\sqrt{\pi} \approx 1.772$. El área bajo $e^{x^2}$ en toda la recta es infinita.'
x: [-3, 3]
y: [-0.5, 4]
functions:
  - expr: exp(-x^2)
    label: y = e^(−x²)
  - expr: exp(x^2)
    label: y = e^(x²)
    dashed: true
    domain: [-1.17, 1.17]
shade:
  expr: exp(-x^2)
  from: -3
  to: 3
points:
  - [0, 1, '(0, 1)']
```

## Por qué fallan los métodos habituales

- **Cambio de variable.** $u = x^2$ necesita $du = 2x\,dx$, y no hay ninguna $x$ que lo aporte. Compárala con $\int xe^{x^2}\,dx = \frac{1}{2}e^{x^2} + C$, que sí funciona.
- **Dividir entre la derivada del interior.** Ese atajo solo funciona cuando la pendiente del interior es constante, como en la [integral de e²ˣ](/integrals/e-to-the-2x). Aquí la pendiente $2x$ cambia.
- **Integración por partes.** Cualquier elección de $u$ y $dv$ lleva a una integral más difícil.

No es mala suerte. Joseph Liouville demostró en la década de 1830 que $\int e^{x^2}\,dx$ no se puede escribir en términos elementales. Otras funciones de la misma familia son $\frac{\sin x}{x}$ y $\frac{1}{\ln x}$.

## La función error

Como la antiderivada existe pero no tiene fórmula, recibe su propio nombre. La **función error** es

$$\operatorname{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-t^2}\,dt$$

El factor $\frac{2}{\sqrt{\pi}}$ se elige para que $\operatorname{erf}(x) \to 1$ cuando $x \to \infty$. Por el [Teorema Fundamental del Cálculo, primera parte](/theorems/fundamental-theorem-of-calculus-part-1), su derivada es $\frac{2}{\sqrt{\pi}}e^{-x^2}$, lo que da la fórmula de arriba. La **función error imaginaria** $\operatorname{erfi}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{t^2}\,dt$ cumple el mismo papel para $e^{x^2}$.

La función error está por todas partes en estadística, ya que la distribución normal es una copia estirada de $e^{-x^2}$. La función de distribución normal de tu calculadora está calculando erf por detrás.

## La solución en serie de potencias

Siempre puedes obtener una antiderivada en forma de serie. Parte de $e^u = \sum_{n=0}^\infty \frac{u^n}{n!}$ con $u = x^2$ e integra término a término:

$$\int e^{x^2}\,dx = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{n!\,(2n+1)} + C = x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{10} + \frac{x^7}{42} + \cdots + C$$

La serie converge para todo $x$. Para $e^{-x^2}$ los signos se alternan: $x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{10} - \frac{x^7}{42} + \cdots$

**Comprobación derivando.** La derivada de $\frac{x^{2n+1}}{n!(2n+1)}$ es $\frac{x^{2n}}{n!} = \frac{(x^2)^n}{n!}$, y la suma de todas ellas es $e^{x^2}$.

## Ejemplos resueltos

**Ejemplo 1: una integral definida mediante series.** Sustituye $x = 1$ en la serie:

$$\int_0^1 e^{x^2}\,dx = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{10} + \frac{1}{42} + \frac{1}{216} + \cdots \approx 1.4627$$

**Ejemplo 2: la campana de 0 a 1.** La serie alternada da

$$\int_0^1 e^{-x^2}\,dx = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{10} - \frac{1}{42} + \frac{1}{216} - \cdots \approx 0.7468$$

Como la serie es alternada, el error al parar es menor que el primer término que se omite.

**Ejemplo 3: la integral de Gauss.** Llama $I = \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\,dx$. Multiplica dos copias, una en $x$ y otra en $y$, y pasa a coordenadas polares, donde $dx\,dy = r\,dr\,d\theta$:

$$I^2 = \iint_{\mathbb{R}^2} e^{-(x^2+y^2)}\,dx\,dy = \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^\infty e^{-r^2}\,r\,dr\,d\theta = 2\pi\cdot\frac{1}{2} = \pi$$

La $r$ extra es justo el factor que hace que funcione $u = r^2$. Así que $I = \sqrt{\pi}$. La lección de [integrales dobles en polares](/learn/calculus-3/multiple-integrals/polar-double-integrals) trata el cambio de coordenadas.

**Ejemplo 4: una campana escalada.** Con $x = \frac{t}{\sqrt{a}}$, $\int_{-\infty}^{\infty}e^{-at^2}\,dt = \sqrt{\frac{\pi}{a}}$ para $a > 0$.

## Errores comunes

1. **Escribir $\frac{e^{x^2}}{2x} + C$.** Derívalo y verás que no funciona.
2. **Suponer que toda integral tiene fórmula.** Algunas no la tienen. En un examen, una integral definida de $e^{x^2}$ suele significar "usa una serie" o "usa la calculadora".
3. **Confundir $e^{x^2}$ con $(e^x)^2$.** $(e^x)^2 = e^{2x}$, cuya integral es $\frac{1}{2}e^{2x}$. $e^{x^2}$ significa $e$ elevado a $x^2$.
4. **Olvidar comprobar si hay una $x$.** Si el integrando es $xe^{x^2}$ o $xe^{-x^2}$, basta un cambio de variable sencillo.

Para técnicas con series, consulta la [guía de series de Taylor](/blog/taylor-series). Para las exponenciales más sencillas, consulta la [integral de eˣ](/integrals/e-to-the-x) y la [integral de e⁻ˣ](/integrals/e-to-the-negative-x).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la integral de e^(x²)?

No tiene antiderivada elemental. Se puede escribir como $\frac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{erfi}(x) + C$, donde erfi es la función error imaginaria, o como la serie $\sum_{n\ge 0}\frac{x^{2n+1}}{n!(2n+1)} + C$.

### ¿Por qué no se puede integrar e^(x²)?

Un teorema de Liouville demuestra que ninguna combinación de polinomios, exponenciales, logaritmos, funciones trigonométricas y raíces tiene derivada $e^{x^2}$. La antiderivada existe, solo que no es una de las funciones habituales.

### ¿Cuánto vale la integral de e^(−x²) de menos infinito a infinito?

Vale $\sqrt{\pi} \approx 1.772$. Eleva la integral al cuadrado, pasa a coordenadas polares y el factor extra $r$ hace que la integral sea fácil.

### ¿La integral de e^(x²) es e^(x²)/(2x)?

No. Al derivar $\frac{e^{x^2}}{2x}$ con la regla del cociente se obtiene $e^{x^2} - \frac{e^{x^2}}{2x^2}$, no $e^{x^2}$. Solo se puede dividir entre una constante.

### ¿Cuál es la integral de x e^(x²)?

Es $\frac{1}{2}e^{x^2} + C$. Con una $x$ delante, $u = x^2$ funciona porque $du = 2x\,dx$ está presente.