# Integral de eˣ sen x: fórmula, pasos y ejemplos

> La integral de eˣ sen x es ½eˣ(sen x − cos x) + C. El truco de integrar dos veces y despejar, la comprobación, una gráfica y la fórmula de e^(ax) sen(bx).

Fuente: https://practicecalculus.com/es/integrales/integral-de-e-elevado-a-x-por-sen-x
Actualizado: 2026-11-06

$$ \int e^x\sin x\,dx = \frac{e^x}{2}\left(\sin x - \cos x\right) + C $$

## De un vistazo

- **Antiderivada:** $\frac{1}{2}e^x(\sin x - \cos x) + C$
- **Método:** Integración por partes dos veces y luego despejar la integral
- **Compañera:** $\int e^x\cos x\,dx = \frac{1}{2}e^x(\sin x + \cos x) + C$
- **Forma general:** $\int e^{ax}\sin bx\,dx = \frac{e^{ax}(a\sin bx - b\cos bx)}{a^2 + b^2} + C$
- **De 0 a π:** $\frac{e^\pi + 1}{2} \approx 12.07$

## Ideas clave

- La integral de $e^x\sin x$ es $\frac{1}{2}e^x(\sin x - \cos x) + C$.
- Integra por partes dos veces. La integral original vuelve a aparecer y la despejas como una incógnita en una ecuación.
- Mantén el mismo tipo de función como $u$ las dos veces (por ejemplo, la exponencial), o el segundo paso deshará el primero.
- En general, $\int e^{ax}\sin bx\,dx = \frac{e^{ax}(a\sin bx - b\cos bx)}{a^2+b^2} + C$.

La **integral de $e^x\sin x$ es $\dfrac{1}{2}e^x(\sin x - \cos x) + C$**. Es la famosa integral "cíclica": la integración por partes nunca termina por sí sola, pero tras dos pasos puedes despejar el resultado con álgebra.

$$\int e^x\sin x\,dx = \frac{e^x}{2}\left(\sin x - \cos x\right) + C$$

## Gráfica de eˣ sen x

```graph
title: 'y = eˣ sen x con el área de 0 a π sombreada'
caption: 'El área sombreada es $\frac{e^\pi + 1}{2} \approx 12.07$. La curva oscila como $\sin x$, pero las oscilaciones crecen por el factor $e^x$.'
x: [-3, 4]
y: [-3, 8]
functions:
  - expr: exp(x)*sin(x)
    label: y = eˣ sen x
shade:
  expr: exp(x)*sin(x)
  from: 0
  to: 3.14159
points:
  - [2.35619, 7.4605, 'máx. en x = 3π/4']
```

## Cómo integrar eˣ sen x paso a paso

Llama $I$ a la integral. Usa la [integración por partes](/rules/integration-by-parts-rule) con la función trigonométrica como $u$ las dos veces.

1. **Primera vuelta.** $u = \sin x$, $dv = e^x\,dx$, así que $du = \cos x\,dx$ y $v = e^x$:
$$I = e^x\sin x - \int e^x\cos x\,dx$$
2. **Segunda vuelta**, sobre $\int e^x\cos x\,dx$. De nuevo la función trigonométrica es $u$: $u = \cos x$, $dv = e^x\,dx$, así que $du = -\sin x\,dx$, $v = e^x$:
$$\int e^x\cos x\,dx = e^x\cos x + \int e^x\sin x\,dx = e^x\cos x + I$$
3. **Sustituye.** La integral original ha vuelto:
$$I = e^x\sin x - e^x\cos x - I$$
4. **Despeja $I$.** Suma $I$ a los dos lados: $2I = e^x(\sin x - \cos x)$, así que
$$I = \frac{e^x}{2}(\sin x - \cos x) + C$$

El $+ C$ se añade al final, después de despejar. También funciona con $u = e^x$ las dos veces. Lo que falla es cambiar: si tomas $u = \sin x$ primero y $u = e^x$ después, el segundo paso deshace el primero y obtienes $I = I$.

## Comprobación derivando

$$\frac{d}{dx}\left[\frac{e^x}{2}(\sin x - \cos x)\right] = \frac{e^x}{2}(\sin x - \cos x) + \frac{e^x}{2}(\cos x + \sin x) = \frac{e^x}{2}\cdot 2\sin x = e^x\sin x$$

## La fórmula general

El mismo bucle de dos pasos para $e^{ax}\sin bx$ y $e^{ax}\cos bx$ da

$$\int e^{ax}\sin bx\,dx = \frac{e^{ax}(a\sin bx - b\cos bx)}{a^2 + b^2} + C$$

$$\int e^{ax}\cos bx\,dx = \frac{e^{ax}(a\cos bx + b\sin bx)}{a^2 + b^2} + C$$

Con $a = b = 1$ el denominador es $2$, que coincide con el resultado anterior.

**Un camino más rápido con números complejos.** Como $e^{ix} = \cos x + i\sin x$, $e^x\sin x$ es la parte imaginaria de $e^{(1+i)x}$. Al integrar se obtiene $\frac{e^{(1+i)x}}{1+i} = \frac{(1-i)}{2}e^x(\cos x + i\sin x)$, cuya parte imaginaria es $\frac{e^x}{2}(\sin x - \cos x)$.

## Integrales definidas

**De 0 a π:**

$$\left[\frac{e^x}{2}(\sin x - \cos x)\right]_0^\pi = \frac{e^\pi}{2}(0 + 1) - \frac{1}{2}(0 - 1) = \frac{e^\pi + 1}{2} \approx 12.07$$

**De 0 a π/2:** $\frac{e^{\pi/2}}{2}(1 - 0) - \frac{1}{2}(0 - 1) = \frac{e^{\pi/2} + 1}{2} \approx 2.905$.

**Versión amortiguada.** $\int_0^\infty e^{-x}\sin x\,dx$. Usa la fórmula con $a = -1$, $b = 1$: la antiderivada es $\frac{e^{-x}(-\sin x - \cos x)}{2}$, que tiende a $0$ en el infinito. Así que el valor es $0 - \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}$.

## Ejemplos resueltos

**Ejemplo 1: eˣ cos x.** Por el paso 2, $\int e^x\cos x\,dx = e^x\cos x + I$. Sustituye $I$:

$$\int e^x\cos x\,dx = e^x\cos x + \frac{e^x}{2}(\sin x - \cos x) = \frac{e^x}{2}(\sin x + \cos x) + C$$

**Ejemplo 2: ritmos distintos.** $\int e^{2x}\sin 3x\,dx = \frac{e^{2x}(2\sin 3x - 3\cos 3x)}{13} + C$, usando $a^2 + b^2 = 4 + 9 = 13$.

**Ejemplo 3: vibración amortiguada.** El desplazamiento de un muelle es $e^{-t}\cos t$. Su desplazamiento total con signo en $[0, \infty)$ es $\int_0^\infty e^{-t}\cos t\,dt = \frac{1}{2}$, por la fórmula del coseno con $a = -1$, $b = 1$: la antiderivada $\frac{e^{-t}(\sin t - \cos t)}{2}$ va de $-\frac{1}{2}$ a $0$.

## Errores comunes

1. **Cambiar la elección de $u$** entre las dos vueltas. Acabas con $I = I$, que es cierto pero inútil.
2. **Olvidar dividir entre 2.** Tras el paso 3 tienes $2I$, no $I$.
3. **Errores de signo en la segunda vuelta.** $\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x$, así que la segunda integral se suma, no se resta.
4. **Esperar que las partes terminen.** Con $x\sin x$ la potencia de $x$ desaparece; con $e^x\sin x$ no desaparece nada, así que hace falta el bucle. Compárala con la [integral de x sen x](/integrals/x-sin-x).

La lección de [partes repetidas y LIATE](/learn/calculus-2/integration-techniques/repeated-parts-and-liate) practica este bucle, y la [guía de integración por partes](/blog/integration-by-parts) tiene más ejemplos.

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la integral de eˣ sen x?

Es $\frac{1}{2}e^x(\sin x - \cos x) + C$.

### ¿Cuál es la integral de eˣ cos x?

Es $\frac{1}{2}e^x(\sin x + \cos x) + C$. Funciona el mismo método de dos pasos, con el signo del término del coseno cambiado.

### ¿Por qué la integración por partes no termina con eˣ sen x?

Ni $e^x$ ni $\sin x$ se simplifican al derivarlas, así que las partes no paran de dar vueltas. Tras dos pasos reaparece la integral original, y se despeja $I$ de la ecuación $I = \text{algo} - I$.

### ¿Cuál es la integral de e^(2x) sen(3x)?

Es $\frac{e^{2x}(2\sin 3x - 3\cos 3x)}{13} + C$, por la fórmula general con $a = 2$ y $b = 3$.