# Integral de eˣ: fórmula, pasos y ejemplos

> La integral de eˣ es eˣ + C. Descubre por qué eˣ es su propia antiderivada, una gráfica del área, integrales definidas e impropias y ejemplos resueltos.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/integrales/integral-de-e-elevado-a-x
Actualizado: 2026-11-06

$$ \int e^x\,dx = e^x + C $$

## De un vistazo

- **Antiderivada:** $e^x + C$
- **De 0 a 1:** $e - 1 \approx 1.718$
- **De −∞ a 0:** $1$
- **Con un interior lineal:** $\int e^{kx+b}\,dx = \frac{1}{k}e^{kx+b} + C$
- **Derivada:** $\frac{d}{dx}e^x = e^x$

## Ideas clave

- La integral de $e^x$ es $e^x + C$, porque $e^x$ es su propia derivada.
- El área bajo $e^x$ entre $a$ y $b$ es simplemente $e^b - e^a$.
- Con un interior lineal, divide entre el coeficiente de $x$: $\int e^{kx}\,dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C$.
- No uses la regla de la potencia con $e^x$. La variable está en el exponente, así que $\frac{e^{x+1}}{x+1}$ es incorrecto.

La **integral de $e^x$ es $e^x + C$**. La exponencial natural es la única función (aparte de sus múltiplos) que es su propia derivada, así que también es su propia antiderivada.

$$\int e^x\,dx = e^x + C$$

## Gráfica de eˣ con el área de 0 a 1

```graph
title: 'y = eˣ con el área de 0 a 1 sombreada'
caption: 'El área sombreada es $e^1 - e^0 = e - 1 \approx 1.718$. Como la antiderivada es la propia $e^x$, el área hasta cualquier punto $b$ (empezando en $-\infty$) es igual a la altura $e^b$.'
x: [-3, 2]
y: [-0.5, 6]
functions:
  - expr: e^x
    label: y = eˣ
shade:
  expr: e^x
  from: 0
  to: 1
points:
  - [0, 1, '(0, 1)']
  - [1, 2.718, '(1, e)']
```

## Por qué la integral de eˣ es eˣ

Una antiderivada de $f$ es cualquier función cuya derivada sea $f$. La [derivada de eˣ](/derivatives/e-to-the-x) es $e^x$, así que $e^x$ sirve:

$$\frac{d}{dx}\left(e^x + C\right) = e^x$$

Esa es toda la demostración. El $+ C$ está ahí porque cualquier constante tiene derivada cero, así que $e^x + 5$ y $e^x - 2$ también son antiderivadas. La [guía de antiderivadas](/blog/antiderivatives) explica por qué toda antiderivada tiene esta forma.

## Paso a paso: integrales construidas con eˣ

1. **Saca las constantes.** $\int 4e^x\,dx = 4e^x + C$, por la [regla del múltiplo constante](/rules/constant-multiple-rule).
2. **Separa las sumas.** $\int (e^x + x^2)\,dx = e^x + \frac{x^3}{3} + C$.
3. **Reescribe los exponentes desplazados.** $e^{x+2} = e^2\cdot e^x$, así que $\int e^{x+2}\,dx = e^{x+2} + C$.
4. **Divide entre la pendiente del interior.** Si el exponente es $kx + b$, el resultado es $\frac{1}{k}e^{kx+b} + C$. La página de la [integral de e²ˣ](/integrals/e-to-the-2x) trata este caso en detalle.

## Comprobación derivando

Para $\frac{1}{k}e^{kx+b}$, la [regla de la cadena](/rules/chain-rule) da $\frac{1}{k}\cdot e^{kx+b}\cdot k = e^{kx+b}$. El factor $\frac{1}{k}$ es justo lo que cancela la $k$ de la regla de la cadena.

## Integrales definidas e impropias

Por el [Teorema Fundamental del Cálculo](/theorems/fundamental-theorem-of-calculus-part-2), $\int_a^b e^x\,dx = e^b - e^a$.

| Integral | Valor |
| --- | --- |
| $\int_0^1 e^x\,dx$ | $e - 1 \approx 1.718$ |
| $\int_0^{\ln 2} e^x\,dx$ | $2 - 1 = 1$ |
| $\int_{-1}^{1} e^x\,dx$ | $e - \frac{1}{e} \approx 2.350$ |
| $\int_{-\infty}^{0} e^x\,dx$ | $1 - \lim_{a\to-\infty}e^a = 1$ |

La última es una [integral impropia](/blog/improper-integrals). La cola izquierda de $e^x$ no termina nunca, pero decrece tan deprisa que su área total es exactamente $1$.

## Ejemplos resueltos

**Ejemplo 1: una suma.** $\displaystyle\int (3e^x - 2x)\,dx = 3e^x - x^2 + C$.

**Ejemplo 2: e en la base y en el exponente.** $\displaystyle\int e^{x}e^{2}\,dx = e^2 e^x + C = e^{x+2} + C$. Junta exponentes solo cuando las bases coincidan.

**Ejemplo 3: un cambio de variable.** $\displaystyle\int \frac{e^x}{1 + e^x}\,dx$. Sea $u = 1 + e^x$, $du = e^x\,dx$:

$$\int\frac{du}{u} = \ln(1 + e^x) + C$$

No hace falta valor absoluto, ya que $1 + e^x > 0$.

**Ejemplo 4: el exponente es una función.** $\displaystyle\int 2x\,e^{x^2}\,dx$. Con $u = x^2$, $du = 2x\,dx$, queda $\int e^u\,du = e^{x^2} + C$. Esto solo funciona porque está el $2x$. Sin él, $\int e^{x^2}\,dx$ no tiene resultado elemental; consulta la [integral de e^(x²)](/integrals/e-to-the-x-squared).

**Ejemplo 5: valor medio.** El valor medio de $e^x$ en $[0, 1]$ es $\frac{1}{1-0}\int_0^1 e^x\,dx = e - 1 \approx 1.718$.

## Errores comunes

1. **Usar la regla de la potencia.** $\int e^x\,dx \ne \frac{e^{x+1}}{x+1}$. La regla de la potencia es para $x^n$, donde la variable está en la base.
2. **Olvidar dividir entre $k$.** $\int e^{5x}\,dx = \frac{1}{5}e^{5x} + C$, no $e^{5x} + C$.
3. **Dividir entre algo que no es constante.** $\int e^{x^2}\,dx \ne \frac{e^{x^2}}{2x}$. Deriva eso y no recuperarás $e^{x^2}$.
4. **Olvidar el $+ C$** en una integral indefinida.

Para otras bases como $2^x$, consulta la [integral de 2ˣ](/integrals/2-to-the-x). La página de la [función exponencial natural](/functions/natural-exponential-function) explica de dónde sale $e$.

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la integral de eˣ?

Es $e^x + C$.

### ¿Cuánto vale la integral de eˣ entre 0 y 1?

Vale $e^1 - e^0 = e - 1 \approx 1.718$.

### ¿Cuál es la integral de e^(x+3)?

Es $e^{x+3} + C$. El interior $x + 3$ tiene derivada $1$, así que no cambia nada. También puedes escribir $e^{x+3} = e^3 e^x$ y tratar $e^3$ como una constante.

### ¿Por qué la integral de eˣ es eˣ?

Porque la derivada de $e^x$ es $e^x$. La integración deshace la derivación, así que una función que es su propia derivada también es su propia antiderivada, salvo la constante $C$.