# Integral de ln x: fórmula, pasos y ejemplos

> La integral de ln x es x ln x − x + C. Los pasos de la integración por partes, la comprobación derivando, una gráfica y ejemplos como ln(2x) y (ln x)².

Fuente: https://practicecalculus.com/es/integrales/integral-de-ln-x
Actualizado: 2026-11-06

$$ \int \ln x\,dx = x\ln x - x + C $$

## De un vistazo

- **Antiderivada:** $x\ln x - x + C$
- **Método:** Integración por partes con $u = \ln x$, $dv = dx$
- **De 1 a e:** $1$
- **De 0 a 1:** $-1$ (impropia, converge)
- **Logaritmo en base b:** $\int \log_b x\,dx = \frac{x\ln x - x}{\ln b} + C$

## Ideas clave

- La integral de $\ln x$ es $x\ln x - x + C$, que también puedes escribir $x(\ln x - 1) + C$.
- Usa integración por partes con $u = \ln x$ y $dv = dx$. La integral que queda es simplemente $\int 1\,dx$.
- El resultado no es $\frac{1}{x}$. Esa es la derivada de $\ln x$.
- Repitiendo el truco se resuelven $(\ln x)^2$, $(\ln x)^3$, etc.

La **integral de $\ln x$ es $x\ln x - x + C$**. No hay ninguna regla inversa que deshaga directamente el logaritmo, así que el método habitual es la integración por partes con un factor $1$ escondido.

$$\int \ln x\,dx = x\ln x - x + C$$

## Gráfica de ln x y su antiderivada

```graph
title: 'y = ln x y su antiderivada x ln x − x'
caption: 'El área sombreada de $1$ a $e$ es exactamente $1$. La antiderivada discontinua tiene su mínimo en $x = 1$, donde $\ln x$ pasa de negativo a positivo.'
x: [-0.5, 5]
y: [-2.5, 3.5]
functions:
  - expr: ln(x)
    label: y = ln x
    domain: [0.05, 5]
  - expr: x*ln(x) - x
    label: y = x ln x − x (antiderivada)
    dashed: true
    domain: [0.01, 5]
shade:
  expr: ln(x)
  from: 1
  to: 2.71828
points:
  - [1, 0, '(1, 0)']
  - [1, -1, '(1, −1)']
```

## Cómo integrar ln x paso a paso

Usa la [integración por partes](/rules/integration-by-parts-rule), $\int u\,dv = uv - \int v\,du$.

1. **Escribe $\ln x$ como un producto.** $\int\ln x\,dx = \int \ln x\cdot 1\,dx$.
2. **Elige las partes.** $u = \ln x$ y $dv = dx$. Entonces $du = \frac{1}{x}\,dx$ y $v = x$.
3. **Aplica la fórmula.**
$$\int \ln x\,dx = x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x\ln x - \int 1\,dx$$
4. **Termina.** $\int 1\,dx = x$, así que el resultado es $x\ln x - x + C$.

¿Por qué funciona? Al derivar $\ln x$ se convierte en $\frac{1}{x}$, que cancela la $x$ de $v$. En el orden LIATE los logaritmos van primero, así que casi siempre hacen de $u$. La [guía de integración por partes](/blog/integration-by-parts) explica más sobre cómo elegir $u$.

## Comprobación derivando

Por la [regla del producto](/rules/product-rule) y la [derivada de ln x](/derivatives/ln-x):

$$\frac{d}{dx}\left(x\ln x - x\right) = \ln x + x\cdot\frac{1}{x} - 1 = \ln x + 1 - 1 = \ln x$$

## Integrales definidas

**De 1 a e:**

$$\int_1^e\ln x\,dx = (e\cdot 1 - e) - (1\cdot 0 - 1) = 0 + 1 = 1$$

**De 1 a 2:** $(2\ln 2 - 2) - (0 - 1) = 2\ln 2 - 1 \approx 0.386$.

**De 0 a 1:** es una [integral impropia](/blog/improper-integrals), ya que $\ln x \to -\infty$ cerca de $0$. Usando el límite $x\ln x \to 0$ cuando $x \to 0^+$:

$$\int_0^1 \ln x\,dx = (0 - 1) - \lim_{a\to 0^+}(a\ln a - a) = -1$$

El resultado es negativo porque $\ln x < 0$ en $(0, 1)$, así que el área queda por debajo del eje.

## Ejemplos resueltos

**Ejemplo 1: una constante dentro.** $\int\ln(2x)\,dx$. Sea $u = 2x$, $dx = \frac{du}{2}$:

$$\frac{1}{2}(u\ln u - u) + C = x\ln(2x) - x + C$$

**Ejemplo 2: un logaritmo desplazado.** $\int\ln(x+1)\,dx$. Sea $u = x + 1$, $du = dx$:

$$(x+1)\ln(x+1) - (x+1) + C$$

El $-1$ se puede absorber en $C$, así que $(x+1)\ln(x+1) - x + C$ también es correcto.

**Ejemplo 3: un logaritmo al cuadrado.** $\int(\ln x)^2\,dx$. Toma $u = (\ln x)^2$, $dv = dx$, de modo que $du = \frac{2\ln x}{x}\,dx$ y $v = x$:

$$\int(\ln x)^2\,dx = x(\ln x)^2 - 2\int\ln x\,dx = x(\ln x)^2 - 2x\ln x + 2x + C$$

**Ejemplo 4: una potencia de x dentro.** $\int\ln(x^3)\,dx = 3\int\ln x\,dx = 3x\ln x - 3x + C$, tras aplicar la propiedad $\ln(x^3) = 3\ln x$.

**Ejemplo 5: base 10.** Como $\log_{10}x = \frac{\ln x}{\ln 10}$, $\int\log_{10}x\,dx = \frac{x\ln x - x}{\ln 10} + C$.

## Errores comunes

1. **Responder $\frac{1}{x}$.** Esa es la derivada de $\ln x$. La integral de $\frac{1}{x}$ es $\ln\lvert x\rvert$; consulta la [integral de 1/x](/integrals/1-over-x).
2. **Elegir $u = 1$, $dv = \ln x\,dx$.** Entonces necesitas $\int\ln x\,dx$ para hallar $v$, justo lo que intentas calcular.
3. **Perder el $-x$.** $x\ln x$ solo tiene derivada $\ln x + 1$, que sobra en uno.
4. **Confundir $\ln x$ con $\frac{\ln x}{x}$.** $\int\frac{\ln x}{x}\,dx = \frac{(\ln x)^2}{2} + C$ es un [cambio de variable](/rules/u-substitution-rule), no un problema de partes.

Para un logaritmo por una potencia de $x$, consulta la [integral de x ln x](/integrals/x-ln-x). Para logaritmos en el denominador, consulta la [integral de 1/(x ln x)](/integrals/1-over-x-ln-x).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la integral de ln x?

Es $x\ln x - x + C$, para $x > 0$.

### ¿Cuál es la integral de ln(2x)?

Es $x\ln(2x) - x + C$. Como $\ln(2x) = \ln 2 + \ln x$, también puedes integrar por separado y obtener $x\ln 2 + x\ln x - x + C$, que es lo mismo.

### ¿Cuál es la integral de (ln x)²?

Es $x(\ln x)^2 - 2x\ln x + 2x + C$. Usa partes con $u = (\ln x)^2$, $dv = dx$, y luego la integral de $\ln x$ para lo que queda.

### ¿Cuánto vale la integral de ln x entre 0 y 1?

Vale $-1$. Es impropia porque $\ln x \to -\infty$ en $0$, pero $x\ln x \to 0$, así que la integral es $(0 - 1) - 0 = -1$.