# Integral de √(1−x²): fórmula, pasos y ejemplos

> La integral de √(1−x²) es ½(x√(1−x²) + arcsen x) + C. Aprende la sustitución trigonométrica, la relación con el área del círculo y ejemplos resueltos.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/integrales/integral-de-raiz-de-1-menos-x2
Actualizado: 2026-11-06

$$ \int \sqrt{1-x^2}\,dx = \frac{1}{2}\left(x\sqrt{1-x^2} + \arcsin x\right) + C $$

## De un vistazo

- **Antiderivada:** $\frac{1}{2}\left(x\sqrt{1-x^2} + \arcsin x\right) + C$
- **Forma general:** $\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a} + C$
- **Método:** Sustitución trigonométrica $x = \sin\theta$ y luego $\cos^2\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$
- **De −1 a 1:** $\dfrac{\pi}{2}$, el área de medio círculo unidad
- **De 0 a 1:** $\dfrac{\pi}{4}$, un cuarto de círculo

## Ideas clave

- La integral de $\sqrt{1-x^2}$ es $\frac{1}{2}\left(x\sqrt{1-x^2} + \arcsin x\right) + C$.
- La gráfica de $y = \sqrt{1-x^2}$ es la mitad superior de la circunferencia unidad, así que $\int_{-1}^{1}\sqrt{1-x^2}\,dx = \frac{\pi}{2}$.
- El método es la sustitución trigonométrica: $x = \sin\theta$ convierte la raíz en $\cos\theta$ y la integral en $\int\cos^2\theta\,d\theta$.
- Para un radio $a$, $\int_{-a}^{a}\sqrt{a^2-x^2}\,dx = \frac{\pi a^2}{2}$, la mitad del área de un círculo.

La **integral de $\sqrt{1-x^2}$ es $\dfrac{1}{2}\left(x\sqrt{1-x^2} + \arcsin x\right) + C$**. Es el primer ejemplo clásico de sustitución trigonométrica, y es la forma en que el cálculo demuestra el área del círculo.

$$\int \sqrt{1-x^2}\,dx = \frac{1}{2}x\sqrt{1-x^2} + \frac{1}{2}\arcsin x + C$$

Para un círculo de radio $a$:

$$\int \sqrt{a^2-x^2}\,dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a} + C$$

## Gráfica: media circunferencia unidad

```graph
title: 'y = √(1−x²) es la mitad superior de la circunferencia unidad'
caption: 'El área sombreada de $-1$ a $1$ es medio círculo de radio 1, así que vale $\frac{\pi}{2} \approx 1.571$.'
x: [-1.6, 1.6]
y: [-0.6, 1.4]
functions:
  - expr: sqrt(1-x^2)
    label: y = √(1−x²)
    domain: [-1, 1]
shade:
  expr: sqrt(1-x^2)
  from: -1
  to: 1
points:
  - [0, 1, '(0, 1)']
  - [-1, 0, '(−1, 0)']
  - [1, 0, '(1, 0)']
```

## Cómo integrar √(1−x²) paso a paso

1. **Haz el cambio.** Sea $x = \sin\theta$ con $-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$. Entonces $dx = \cos\theta\,d\theta$ y $\sqrt{1-\sin^2\theta} = \cos\theta$, que no es negativo en este intervalo.
2. **Reescribe.**
$$\int \sqrt{1-x^2}\,dx = \int \cos\theta\cdot\cos\theta\,d\theta = \int \cos^2\theta\,d\theta$$
3. **Usa la identidad del ángulo mitad** $\cos^2\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$, como en la página de la [integral de cos² x](/integrals/cos-squared-x):
$$\int \cos^2\theta\,d\theta = \frac{\theta}{2} + \frac{\sin 2\theta}{4} + C = \frac{\theta}{2} + \frac{\sin\theta\cos\theta}{2} + C$$
4. **Vuelve a $x$.** $\theta = \arcsin x$, $\sin\theta = x$ y $\cos\theta = \sqrt{1-x^2}$:
$$\frac{1}{2}\arcsin x + \frac{1}{2}x\sqrt{1-x^2} + C$$

La versión general usa $x = a\sin\theta$ de la misma forma. La [guía de sustitución trigonométrica](/blog/trig-substitution) trata las otras dos formas de raíz, $\sqrt{a^2+x^2}$ y $\sqrt{x^2-a^2}$.

## Comprobación derivando

Deriva cada parte. Por la [regla del producto](/rules/product-rule):

$$\frac{d}{dx}\left(x\sqrt{1-x^2}\right) = \sqrt{1-x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}$$

y $\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$. Al sumarlas:

$$\sqrt{1-x^2} + \frac{1 - x^2}{\sqrt{1-x^2}} = \sqrt{1-x^2} + \sqrt{1-x^2} = 2\sqrt{1-x^2}$$

La mitad de eso es $\sqrt{1-x^2}$, como debe ser.

## Integrales definidas y el área del círculo

En el intervalo completo, el término con raíz se anula en los dos extremos:

$$\int_{-1}^{1}\sqrt{1-x^2}\,dx = \frac{1}{2}\left(\arcsin 1 - \arcsin(-1)\right) = \frac{1}{2}\cdot\pi = \frac{\pi}{2}$$

Al duplicarla para incluir la mitad inferior se obtiene el área del círculo unidad, $\pi$. Con radio $a$, los mismos pasos dan $\int_{-a}^{a}\sqrt{a^2-x^2}\,dx = \frac{\pi a^2}{2}$, así que un círculo completo tiene área $\pi a^2$.

## Ejemplos resueltos

**Ejemplo 1: parte de un círculo.** Calcula $\int_0^{1/2}\sqrt{1-x^2}\,dx$.

$$\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{8} + \frac{\pi}{12} \approx 0.478$$

El dibujo: un sector de $30^\circ$ de área $\frac{\pi}{12}$ más un triángulo de área $\frac{\sqrt{3}}{8}$.

**Ejemplo 2: radio 3.** $\int_{-3}^{3}\sqrt{9-x^2}\,dx = \frac{9\pi}{2}$, medio círculo de radio 3. No hace falta calcular ninguna antiderivada en cuanto reconoces la forma.

**Ejemplo 3: una antiderivada general.** Con $a = 2$:

$$\int \sqrt{4-x^2}\,dx = \frac{x}{2}\sqrt{4-x^2} + 2\arcsin\frac{x}{2} + C$$

**Ejemplo 4: un círculo desplazado.** $\int_0^2\sqrt{2x - x^2}\,dx$. Completa el cuadrado: $2x - x^2 = 1 - (x-1)^2$. Es la media circunferencia unidad centrada en $x = 1$, así que el resultado es $\frac{\pi}{2}$.

## Errores comunes

1. **Probar $u = 1 - x^2$.** Necesitarías un $x\,dx$ que encajara con $du$, y no lo hay.
2. **Olvidar volver a la variable original.** Un resultado en $\theta$ no está terminado. Usa un triángulo rectángulo con cateto opuesto $x$ e hipotenusa $1$ para leer $\cos\theta = \sqrt{1-x^2}$.
3. **Perder el $\frac{a^2}{2}$.** En la fórmula general el término del arcoseno lleva $\frac{a^2}{2}$, no $\frac{1}{2}$.
4. **Confundirla con $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.** Esa se integra directamente como $\arcsin x$; consulta la [integral de 1/√(1−x²)](/integrals/1-over-sqrt-1-minus-x-squared).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la integral de √(1−x²)?

Es $\frac{1}{2}x\sqrt{1-x^2} + \frac{1}{2}\arcsin x + C$, válida para $-1 \le x \le 1$.

### ¿Cuál es la integral de √(a²−x²)?

Es $\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a} + C$. Para $a = 2$ da $\frac{x}{2}\sqrt{4-x^2} + 2\arcsin\frac{x}{2} + C$.

### ¿Por qué la integral de √(1−x²) entre −1 y 1 es π/2?

Porque $y = \sqrt{1-x^2}$ dibuja la mitad superior de la circunferencia $x^2 + y^2 = 1$. El área bajo ella es la mitad de $\pi r^2$ con $r = 1$, es decir, $\frac{\pi}{2}$.

### ¿Se puede integrar √(1−x²) con un cambio de variable u?

No. No hay ninguna $x$ fuera de la raíz que aporte el $du$. Un simple $u = 1 - x^2$ falla, y por eso hace falta la sustitución trigonométrica.